Đề thi chọn học sinh giỏi trường vòng 1 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Liên trường THCS Diễn Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi trường vòng 1 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Liên trường THCS Diễn Châu (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG VÒNG 1 LIÊN TRƯỜ NG THCS NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,5 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức: 2 34 5 4 3 5 1 1 1 a) ::; b) 6. 3. 1 : ( 1 7 11 11 7 11 11 3 3 3 22 1 1 0, 4 0, 25 2022 c) 9113 5 : 77 1 1,4 1 0,875 0,7 2023 9116 Câu 2. (4,0 điểm) xx 2 a) Tìm x biết: 2.3 3 99; 1+3y 1+5y 1+7y b) Tìm x, y biết: ; 12 5x 4x c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2023)22 23 y Câu 3. (4,5 điểm) a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó: x 1 P . 22x c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao nhiêu học sinh? Câu 4.(7,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) BM = CN. b) BC < MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC 2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB HẾT Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh SBD:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 7 NĂM HỌC 2022-2023 ( Hướng dẫn chấm này có 04 trang ) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a 1. Tính giá trị biểu thức: 1,5 4,5 1,5 34 5 4 3 5 đ a) ::; 7111171111 34 5 4 3 5 34 4 35 0,5 ::(): 711117111171171111 34435 15 0,5 ():(1): 7 7 11 11 11 11 11 10 11 0,5 .2 11 5 2 b 1 1 1 1,5 1,5 b) 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 2 1111 4 0.5 6. 3. 1 : ( 1) 6. 1 1 : ( ) 3339 3 1423 0.5 6. 1 1 : ( ) ( 2).( ) 9334 83 0.5 .( ) 2 34 c 22 1 1 1,5 0, 4 0, 25 1,5 9113 5 2022 c) : 77 1 2023 1,4 1 0,875 0,7 9116 22 2 111 0,5 2022 5911345: 77 7 77 7 2023 59116810 11 1 111 0,5 2 5911 345 2022 : 11 1 7111 2023 7 59112345 2 2 2022 0.5 :0 7 7 2023 2 a xx 2 1,0 2. a) Tìm x biết: 2.3 3 99; 4,0 1,0 xx 22 xx 0.25 2 .3 3 99 2.3 3 99
3. đ 3(2x 3)2 99 0.25 3.11xx 99 3 9x 2 0.5 b 1+3y 1+5y 1+7y 1,5 b) Tìm x, y biết: ; 1,5 12 5x 4x Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 17 y 15y 2y 15 y 13y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 0,5 22yy => xx512 TH1: y = 0, thay vào=> không thỏa mãn 0,5 TH2: yx 0 5x -12 x=2 13 yy 2 Thay x = 2 vào trên ta được: y 12 2 =>1+ 3y = -12y=> y = 1 15 Vậy x = 2, y = 1 thoả mãn đề bài. 15 0,5 c c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2023)22 23 y 1,5 1,5 Vì x, y là các số tự nhiên nên (x 2023)2 , y 2 là các số chính phương 0,5 nên không âm nên 23 y2 23 0 7(x 2023)2 23 (2023)0x 2 x 2023 0.5 Do đó 2 (2023)1x x 2024 + Với x = 2023 thì không có giá trị của y tự nhiên thỏa mãn. 0.25 + Với x =2024 thì yy2 16 4 . Vậy (x;y) =(2024;4) 0.25 3 a a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết p + 2 cũng là số nguyên tố. 1,5 4,5 1,5 Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. đ Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p + 1 chẵn 0,5 => (p + 1)  2 (1) Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 0,25 (k N) Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k +3 = 3(k + 1)  3 0,25 => p + 2 không là số nguyên tố nên p = 3k + 1 không xảy ra. Do đó p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 3 = 3(k +1)  3 (2) 0,25 Vì (2;3) = 1 nên từ (1) và (2) ta có (p + 1)  6 0,25
4. b b) Tìm số nguyên x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn 1.5 1,5 x 1 nhất đó: P . 22x xx 1(1)212 P 0.5 22xx 2(1)2 x 1 2 Để Pmax max x-1 >0 và nhỏ nhất (x nguyên) x 2 0.5 x-1 123 Pmax x 2 0.5 2212 b c) Một trường THCS có ba lớp 7, tổng số học sinh hai lớp 7A, 7B là 1,5 85 em, Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9. Hỏi lúc đầu mỗi lớp có bao 1,5 nhiêu học sinh? Gọi số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) ( xyz,, N* , x 10 0,25 Theo bài ra ta có xy 85 (1) 0.25 Nếu chuyển 10 học sinh từ lớp 7A sang lớp 7C thì số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C tỉ lệ thuận với 7;8;9 nên ta có: 0,25 xyz 10 10 (2) 789 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,25 xyzxy 10 10 ( 10) 85 10 5 789 7815 Suy ra xyz 45, 40, 35 (Thỏa mãn điều kiện) 0.25 Vậy số học sinh của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 45, 40, 35 học sinh. 0,25 4 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối 6,0 7,0 của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với đ BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) BM = CN. b) BC < MN. c) Đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC a Xét ∆MDB và ∆NEC có:
5. 0 2,0 MDB NEC(90) 0.5 BD = CE (gt) 0.25 M BD NCE () ACB 0.75 =>∆MDB = ∆NEC (g.c.g)=> BM = CN (hai cạnh tương ứng) 0.5 b Ta có BC=BD+DC; DE=DC+CE, mà BD=CE(gt) 1.0 => BC=DE 2.0 Gọi I là giao điểm của MN và BC ta có DE=DI+IE BC AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác cân ABC. 2.0 0,25 Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I. 0,25 ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) OBA OCA (cặp góc tương ứng) (*) OC = OB (cặp cạnh tương ứng) (1) 0,25 ∆MDI = ∆NEI (g.c.g) 0,25 IM = IN (cặp cạnh tương ứng) (2) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c) 0,25 OM = ON (cặp cạnh tương ứng) (3) Từ (1), (2) và (3)=> ∆OBM = ∆OCN (c.c.c) 0,25 OBM OCN (cặp góc tương ứng) ( ) Từ (*) và ( ) suy ra OCA OCN =900, do đó OC  AC. 0,25 => điểm O cố định. Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại giao điểm của MN và BC luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên 0,25 cạnh BC 2. Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia 1.0 đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADB 2. A 1,0 đ H B C D KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× ACD 6000 CDH 30 CD Từ đó chứng minh được CH = CH = BC 2 0,5 Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH 3000 ABH 15 Mμ ABH 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H 00 0 0 0 0 VËy ADB 45 30 75 ADB = 45 +30 =75 0,5
6. Lưu ý: - Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4. - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.