Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Xuyên Mộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Xuyên Mộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN HUYỆN XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1:(3,0 điểm) 1) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7. 102016 1 102016 1 2) So sánh A và B 102017 11 102017 9 Bài 2: (5,5 điểm) 2 x 9 2 x 1 x 3 1) Rút gọn biểu thức: P với x 0;x 4;x 9. x 5 x 6 x 3 2 x 2016xx2 2 2016 2) T m giá tr lớn nh t của biểu thức: Q x2 1 3) T m nghiệm nguyên dương của phương tr nh: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 3: (3,5 điểm) 1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương tr nh m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). T m m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nh t. a b c 2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 12 a b b c c a Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. L y điểm M b t kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của AM và OK. 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO. 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: EF//AB. Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy trên cung nhỏ AB (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O). HẾT Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám th số 1: Số báo danh: .
2. UBND HUYỆN XUYÊN MỘC PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9 (Hướng dẫn chấm có trang) Bài 1:(3,0 điểm) 1) Chứng minh rằng các số A 62015 1 và B 62016 1đều là bội của 7. 102016 1 102016 1 2) So sánh A và B 102017 11 102017 9 Bài 1 Đáp án Điểm Ta có: A 62015 1 6 1 7 7 0,5 1013 2016 2 2 0,5 1.1 B 6 1 61 6 1 35 7 (1,0đ) 10.(102016 1) 10 2017 11 1 1 Ta có: 10. A1 (*) 102017 11 10 2017 11 10 2017 11 0,75 10.(102016 1) 10 2017 9 1 1 1.2 Và: 10. B1 ( ) (2,0đ) 102017 9 10 2017 9 10 2017 9 0,5 1 1 Ta th y nên từ (*) và ( ) 10A > 10B A > B. 102017 11 102017 9 0,75 ( Trong 2 ý đầu, ý nào chứng minh trước đúng cho 0,75; ý sau tương tự cho 0,5đ) Bài 2: (5,5 điểm) 2 x 9 2 x 1 x 3 1) Rút gọn biểu thức: P với x 0;x 4;x 9. x 5 x 6 x 3 2 x 2016xx2 2 2016 2) T m giá tr lớn nh t của biểu thức: Q x2 1 3) T m nghiệm nguyên dương của phương tr nh: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 2 Đáp án Điểm 2x 9 (2x 1)(x 2) (x 3)(x 3) P (x 2 )( x 3) 0,75 2.1 (2,0đ) x x 2 ( x 2)( x 1) x 1 P 0,5x2 (x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3 +0,25 a) Ta có: 2016x2 2 x 2016 (2017 x 2 2017) ( x 2 2 x 1) 0,5 Q xx22 11 2.2 2017(x2 1) ( x 1) 2 ( x 1) 2 0,5 (2,0đ) 2017 (*) x2 1 x 2 1 x 2 1 (x 1)2 Vì 0 nên từ (*) Q 2017  x2 1 0,25 (x 1)2 0,5 D u “=” xảy ra 0 xx 1 0 1 x2 1
3. Vậy max Q = 2017 x 1 0,25 Cách 1: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) 0,25 Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5 0,25 2 2 2 Đặt x – 4 = 5t ( t ) x = 5t + 4. Thay vào (*) y = 10 – 6t 0,25 4 22 t x 0 x 5 t 4 0 5 45 Vì t y22 0 y 10 6 t 0 5 53 0,25 t 3 t 0 hoặc t = 1 2 2.3  Khi t = 0 thì y = 10 (loại v y ) (1,5đ) xx2 93 0,5 Khi t = 1 thì (vì x > 0; y > 0) y2 4 y 2 Cách 2: Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*) 0,25 Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4) 5. Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) 5 0,25 [(x2 – 4) +5] 5 (x2 +1) 5 ( ). 0,25 Từ bài ra 0 0; y > 0) 0,25 Bài 3: (3,5 điểm) 1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương tr nh m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). T m m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nh t. a b c 2) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng : 12 a b b c c a Bài 3 Đáp án Điểm Xét pt: m 4 x m 3 y 1 Ta th y: mm 4 .0 3 .0 0 1 nên (d) không thể đi qua O(0;0) 0,25 + m = 4 ta được y = 1 nên K/c từ (d) đến O bằng y1 0,25x2 + m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x 1 1 1 1 + m 3;m 4 th (d) cắt Ox tại A ,0 và cắt Oy tại B 0, m4 m3 0,25 3.1 (2,0đ) Kẻ OH vuông góc với (d) tại H; ta có K/c từ O đến (d) là OH. Dựa vào ΔOAB vuông tại O chỉ ra được 2 122 7 1 1 2 (m 4) ( m 3) 2 m 0,5 OH 2 2 2 0,25 Suy ra được: OH 2 7 0,25 Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nh t OH = 2 khi m = 2 V a, b, c là các số dương (gt) nên ta có: a a a c 0,5 (1) a b c a b a b c
4. 3.2 b b b a 0,25 (2) (1,5đ) a b c b c b c a c c c b 0,25 (3) a b c c a c a b a b c 0,5 Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 12 a b b c c a Lưu ý: HS chứng minh đúng một vế cho 0,75đ Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. L y điểm M b t kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K. Gọi E là giao điểm của AM và OK. 1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. 2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh: IN = IO. 3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H. Gọi F là giao điểm của BK và MH. Chứng minh: EF//AB. K N M I E F A B O H Bài 4 Đáp án Điểm H nh vẽ đến câu 1 0,25 4.1 (1,75đ) Chứng minh được OK  AM tại E 0,75 Dựa vào OAK vuông tại A chỉ ra được OE.OK = OA2 = R2 không đổi. 0,75 Chứng minh được: OK // BN ( AM) 0,25x2 4.2 Chứng minh được: AOK = OBN (g.c.g) OK = BN 0,5 + 0,25 (1,75đ) Suy được OBNK là h nh b nh hành từ đó suy được: IN = IO 0,5 Chứng minh được AOK đồng dạng HBM HB MB HB22 MB (1) AO OK AO22 OK 0,5 Chỉ ra được MB2 = HB.AB và OA2 = OE.OK (cma) (2) 0,25 4.3 (2,0đ) Từ (1) và (2) suy được HB2 HB. AB HB AB HB OE (3) OK. OE OK2 OE OK AB OK 0,5
5. HB FB 0,25 Chứng minh được (4) AB BK FB OE 0,5 Từ (3) và (4) suy ra EF // OB //AB (đl Ta let) KB OK Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Một điểm P chạy trên cung nhỏ AB (P khác A và B). Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O). A 1 3 2 P 1 O 1 Q B C Bài 5 Đáp án Điểm Vì ABCđều, P AB nên AP < PC. L y điểm Q trên PC sao cho PQ = PA 0,25 0 0 APQ cân có APQ P1 60 (chắn cung 120 ) nên đều 5 0,75 (2,5đ) AP = AQ = PQ - Chứng minh được APB = AQC (c.g.c) PB = QC 1,0 Từ đó PA + PB = PQ + QC = PC. Mà PC là 1 dây của (O) nên PC 2R (đường kính) Chứng tỏ tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn 0,5 đường kính của đường tròn (O). (đpcm) Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương. 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.