Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Mã đề 101 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Mã đề 101 - Năm học 2020-2021 - Sở GD và ĐT Bắc Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 06/3/2021 (Đề thi gồm 03 trang) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. Mã đề thi 101 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm). 111 1 111 1 Câu 1: Nghiệm của phương trình ++++ x =++++ 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 là A. x = 5. B. x = 4 . C. x = 7 . D. x = 9 . 2a− 16 aa ++ 4 2 1 Câu 2: Cho M = −− . S là tập hợp các giá trị nguyên của a để M nhận aa−+6 8 a − 24 − a giá trị nguyên. Tập S có tất cả bao nhiêu tập con ? A. 3. B. 8 . C. 4 . D. 2. Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A sao cho OA= 3 R . Đường thẳng qua A và cắt đường tròn tại hai điểm B, C. Tính AB. AC . A. AB. AC= 5. R2 B. AB.2 AC= R2 . C. AB.8 AC= R2 . D. AB.3 AC= R2 . Câu 4: Có bao nhiêu cặp số ( xy; ) với xy>>0, 0 thỏa mãn phương trình 4x2 + 9136 y += x + xy ? A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 4 . Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H∈ BC) ; AB=2, AC = 3 CH . Diện tích tam giác ABC bằng 33 2 A. 33. B. 22. C. . D. . 2 2 23x + Câu 6: Có bao nhiêu giá trị x nguyên để biểu thức A = nhận giá trị nguyên ? x + 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 7: Gọi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng y=( m +25) xm +−(với m là tham số). Giá trị lớn nhất của OM bằng A. 52. B. 32. C. 45. D. 25. 2021 Câu 8: Cho biểu thức fx( ) =( x3 +−67 x ) . Biết a =+333 17 +− 3 17 , giá trị của fa( ) là A. 1. B. −2. C. 0 . D. −1. Câu 9: Biết điểm Mxy( 00; ) là điểm mà đường thẳng y=−+−(1 mx) 26 m luôn đi qua với mọi m . 22 Giá trị của biểu thức Ax=00 + y là A. -2. B. 20. C. 6. D. 4. 2 Câu 10: Cho hai hàm số ym=( ++12) x và y=21 xm ++. Tìm tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song. A. m = ±1. B. m =1. C. m = 2 . D. m = −1. Câu 11: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D thuộc BC) sao cho BD= a; CD = b ; a > b. Tiếp tuyến tại A của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C cắt BC tại M. Độ dài MA được tính theo công thức nào sau đây ? 2ab 2ab ab 2ab A. MA = . B. MA = . C. MA = . D. MA = . ab+ ab− ab− 2ab− Trang 1/3 - Mã đề thi 101
2. 24xy+= Câu 12: Tìm hai tham số mn, để hệ phương trình  có vô số nghiệm. mx−=− y n 2 A. mn=2; = − 2 . B. mn=2; = 6 . C. mn=−=−2; 2 . D. mn=−=2; 2 . Câu 13: Cho ba số xyz,,sao cho xy≥≥≥1, 2, z 3 . Giá trị lớn nhất của yz x−+123 xz y − + xy z − 11 1 P = là ++,(abc ,, ∈ ) . Tổng abc++ bằng xyz a bc A. 22 . B. 18. C. 20 . D. 19. +(m1) x + my = 21 m − Câu 14: Cho hệ phương trình ( với m là tham số) có nghiệm ( xy; ) . Giá trị  2 00 mx−= y m −2 lớn nhất của xy00 là 1 9 1 3 A. . B. . C. − . D. . 4 4 2 4  4 1 13  −=−  x+−2 yx 23 y Câu 15: Cho hệ phương trình  có nghiệm ( xy; ) . Tính yx− . 16 00 00  +=1  x+−22 yx y A. yx00−=4 . B. yx00−=2 . C. yx00−=−2. D. yx00−=3. Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Giả sử AB=6 cm , BH = 4 cm . Tính BC. A. 10cm . B. BC= 9 cm . C. BC=10,5 cm . D. BC= 82 cm . Câu 17: Phương trình 2xx−+= 53 có bao nhiêu nghiệm ? A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 0 . Câu 18: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA= 2 R . R Điểm C nằm trên đoạn thẳng AO sao cho OC = và điểm M thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ 2 nhất của MA+2MB bằng A. BC . B. 4BC . C. 3BC . D. 2BC . Câu 19: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA= R , dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm M của đoạn thẳng OA , kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B , tiếp tuyến đó cắt OA tại E . Độ dài đoạn thẳng BE là R 3 A. 3R . B. R 2 . C. R 3 . D. . 2 Câu 20: Cho các hàm số yx=0,5 + 3 , yx=6 − , y= mx có đồ thị lần lượt là các đường thẳng dd12, , ∆m . Với những giá trị nào của tham số m thì ∆m cắt dd12, tại hai điểm A, B sao cho A có hoành độ âm, B có hoành độ dương ? A. −0,5 <<m 1. B. −<1mm < 0, 5; ≠0. C. −<1m < 0,5. D. −0, 5 <<mm 1; ≠0. II. TỰ LUẬN Câu 1. (5,5 điểm) 3xx+− 93 x + 1 x + 2 1. Cho biểu thức A= − +,( xx ≥≠ 0, 1) . xx+−2 x + 21 − x a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Trang 2/3 - Mã đề thi 101
3. 2. Cho đường thẳng d: y=+≠ ax b ,0( a ) đi qua M (1; 4 ) và cắt Ox tại điểm A có hoành độ dương, cắt Oy tại B có tung độ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= OA + OB . Câu 2. (3,5 điểm) 1. Giải phương trình 7xx22− 5 += 6( 11 x − 1) x + 3 . 2. Cho abc,, là các số nguyên dương thỏa mãn ab– là số nguyên tố và3c2 =++ ab bc ca . Chứng minh rằng 81c + là số chính phương. Câu 3. ( 4 điểm) Cho tam giác ABC( AB<< BC CA) ngoại tiếp đường tròn tâm I . Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB= CE = BF đồng thời chúng nằm về cùng phía với A so với đường thẳng BC . Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G . a) Chứng minh rằng bốn điểm C , E , I và G cùng nằm trên một đường tròn. b) Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG= AF đồng thời H nằm 1 khác phía với C so với đường thẳng BG . Chứng minh rằng EHG = CAB . 2 Câu 4. ( 1 điểm) Cho các số thực dương xyz, , thỏa mãn xyz++=3. Chứng minh rằng 111 ++≥3 . xyxy++ yzyz ++ zxzx ++ HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1 (Họ tên và ký) Cán bộ coi thi số 2 (Họ tên và ký) Trang 3/3 - Mã đề thi 101
4. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM BẮC GIANG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 HDC MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 Ngày thi: 06/3/2021 (Bản hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm- Mỗi đáp án đúng được 0,3 điểm) Mã đề Câu Đáp án Mã đề Câu Đáp án 101 1 A 102 1 D 101 2 B 102 2 B 101 3 C 102 3 C 101 4 A 102 4 D 101 5 D 102 5 A 101 6 B 102 6 C 101 7 A 102 7 A 101 8 D 102 8 A 101 9 B 102 9 B 101 10 D 102 10 A 101 11 C 102 11 C 101 12 C 102 12 B 101 13 A 102 13 D 101 14 A 102 14 D 101 15 B 102 15 B 101 16 B 102 16 C 101 17 D 102 17 B 101 18 D 102 18 C 101 19 C 102 19 D 101 20 C 102 20 A II. PHẦN TỰ LUẬN (14 điểm) Câu Hướng dẫn giải Điểm Câu 1 ( 5,5 điểm) 1. a) 2 33xx+−−−+−+ 3( x 1)( x 1) ( x 2) ( 3,5 điểm) 2 điểm A = 0,5 ( xx+−21)( ) xx−−6 A = 0,5 ( xx+−21)( ) ( xx+−23)( ) A = 0,5 ( xx+−21)( )
5. x − 3 A = 0,25 x −1 Kết luận 0,25 b) 2 = − 1,5 điểm A 1 0,25 x −1 Với x ∈ , Để A∈⇒ x −1 là ước của 2 0,25 ⇒x −∈±1{ 2; ± 1} 0,5 Đáp số xxx=0, = 4, = 9 0,5 2. ( 2 điểm) M∈⇒+=⇒=− d ab44 b a 0,5 b +) d∩=− Ox A;0 , d ∩= Oy B(0; b) ( b > 0, a < 0) 0,25 a ba4 − + OA+ OB =−+=− b +−4 a 0,25 aa 4 = − +−( a) +59 ≥ 0,5 a 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =⇒=−aa20( a <) ⇒= b 6(tm) a Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 9 0,5 Câu 2 ( 5 điểm) 1. ( 2 điểm) 7xx22− 5 += 6( 11 x − 1) x + 3 0,25 ⇔7xx22 − 5 +− 6( 11 x − 1) x += 3 0 ⇔5x2 − 5 x − 10 xx 22 + 3 + 2 x +− 6( x − 1) x 2 + 3 = 0 ( ) ( ) 0,25 ⇔5.1233.2310xx −− x2 + + x 22 + x + − x + = ( ) ( ) 0,25 22 ⇔( x −−12 x + 35)( xx − + 3) = 0 0,25 2xx2 +=− 31 ⇔  2 0,25  xx+=35 x ≥1 2 + = − ⇔ ⇒ ∈∅ 0,25 +) 2xx 31 2 x 3xx+ 2 += 11 0 x ≥ 0  2 2 += ⇔ ⇔= +) xx35  2 1 x. 0,25 x = 4  8
6. Kết luận 0,25 2. ( 1,5 điểm) Ta có 4c22= c + ab++ bc ca=( c + a)( c + b) 0,25 Gọi d=+( cacbca, +) ,–( +) ( cb +=−) abd ⇒ d =1hoặc d= ab– (Do ab− là số nguyên tố) 0,25 TH1: d=⇒+1 cavà cb+ nguyên tố cùng nhau nên ca+= xcb22, += y (x và y nguyên dương) 0,25 Nên ab– = x22− y=( xyxy−+)( ) là số nguyên tố nên xy–=⇒=+ 1 x1 y 4c2=( cacbxy+)( +=) 22 ⇒21 cxy = =+( yyyy) =+2 2 0,25 ⇒814c += yy2 + 4121 +=( y +) là số chính phương. TH2: dab=– ⇒+= ca( abxcb −) ; +=( aby − ) ,với x, y nguyên dương và nguyên tố cùng nhau 0,25 ⇒ a–– b=( c + a) ( c + b) =( a − bx) –( a − by) ⇒= 1 x– y ⇒=+xy1 2 Ta có 4c2 = ( cacb+)( +) = ( abxy −) . ⇒= xyyy( +1) là số chính phương Mà y và y +1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên y = 0(vô lý do y 0,25 nguyên dương). Kết luận. Câu 3 (4 d) H F G A E N M I B C Bổ đề: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 thì nội tiếp một đường tròn. (Nếu học sinh không chứng minh bổ đề mà sử dụng thì vẫn cho điểm tối đa)
7. a)Gọi BI∩= CF{ N}; CI∩= BE{ M}. 0,5 ∆IBE cân tại I ⇒=IEB I BM (1). 0,25 IBM += BIM 900   ⇒=IBM ICN (2). 0 0,75 ICN += CIN 90  Từ (1) và (2) suy ra IEB = ICN 0,25 ⇒+=ICG GEI 1800 0,5 ⇒ tứ giác CIEG là tứ giác nội tiếp. 0,25 b) Chứng minh được tứ giác AFCI nội tiếp 0,25 1800 −+ ABC BAC BCA (vì AFC = = =+=IAC ICA 1800 − AIC ) 22 Chứng minh được tứ giác AEIB nội tiếp 0,25 (vì EAI = IFC = ICF = IBE ) Do tứ giác CIEGvà AFCI nội tiếp, nên EGI = ECI = AFI Hơn nữa, do IAB = IEB nên GEI = FAI suy ra ∆GEI đồng dạng với 0,25 ∆FAI . EG EG AF HG AF AI Suy ra ==⇒== 0,25 BI EI AI GE GE BI Nhưng HGE = AEB = AIB suy ra ∆HGE đồng dạng ∆AIB 0,25 CAB Từ đó EHG = BAI = 0,25 2 2 Câu 4 Ta chứng minh ( xy++13) ≥( xyxy ++) , với ∀ xy, . Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 22 2( x+ y ++ 12 xy + 2 y + 2 x) ≥ 6( xy + x + y) 0,25 222 ⇔ (x − y) +−( x1) +−( y1) ≥ 0 Dấu “=”xảy ra ⇔== xy1.
8. 13 Do đó ≥ , với ∀>xy, 0. Dấu “=” xảy ra xy++ x y xy++1 ⇔== xy1. Tương tự ta suy ra 0,25 1 1 1 333 + + ≥++ xyxy++ yzyz ++ zxzx ++ xy++111 yz ++ zx ++ (1) Dấu “=” xảy ra ⇔=== xyz1. 111 9 Ta chứng minh: ++ ≥, ∀ mnp , , > 0 m n p mnp++ Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với n pm pmn 1++++++++≥1 19 mmn n p p 0,25 nm pm  pn  ⇔  +++++≥  6 mn mp  np  Theo bất đẳng thức Cô si ta thấy bất đẳng thức trên luôn đúng. Dấu “=”xảy ra ⇔== mnp. Do đó 333 93 ++ ≥=3 (2) xy1yz1zx1++ ++ ++ 23( xyz++) + Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 0,25 Dấu “=”xảy ra ⇔=== xyz1