Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa Lớp 11 năm 2020 môn Toán - Trường THPT Thị xã Quảng Trị (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa Lớp 11 năm 2020 môn Toán - Trường THPT Thị xã Quảng Trị (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 11 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 12 tháng 6 năm 2020 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề xx 11 3 khi x 0 Câu I.(5,5 điểm) 1.Cho hàm số fx x . Tìm m để hàm số fx liên tục tại m 20 khi x x 0. 2. Một tổ gồm 10 học sinh gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ trong đó có hai học sinh nữ tên Trang và Thủy. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang. Tính xác suất để xếp được một hàng ngang mà hai học sinh nữ Trang và Thủy luôn đứng cạnh nhau, đồng thời các học sinh nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Trang và Thủy. Câu II. (7,0 điểm) 1. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC 300 và BC 2 a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC . Biết hai mặt phẳng SHA và SBC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC , đồng thời SA tạo với mặt phẳng một góc bằng 600 . a) Tính góc tạo bởi và mặt phẳng SBC . b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC theo a. 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC , các điểm MN, lần lượt là trung điểm của HB và HC ; điểm K là trực tâm tam giác AMN. a) Gọi I là trung điểm của AH . Chứng minh rằng K là trung điểm của IH . 11 b) Tìm tọa độ điểm A ; biết M 2; 1 , K ; và điểm A nằm trên đường thẳng xy 2 4 0 đồng 22 thời điểm có tung độ âm. 33 4x y x y 3 xy 2 x y Câu III. (4,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực . 2 3 y 2 x x y xy 4 x 1 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 3 sinx 1 . 2sin x 2 m 3 sin x m 2 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn ; . 62 u1 4 Câu IV. (3,5 điểm) 1. Cho dãy số u xác định bởi 3.nu 2nn2 6 3 . Xác định công n un n ,1  n 1 2 3 n 1 nn.1 nu. n thức tổng quát un theo n và tính lim n . 4 2. Cho x , y , z là các số thực dương và thỏa mãn x2 y 2 z 2 2 x . zx a) Chứng minh rằng . y 1 x y x 2 y z 2 z 4 y 3 3x2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . x 2 y 1 y 1 xy 2 HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT (đối với môn Toán). Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 11 NĂM HỌC 2019-2020. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1. (2,5 điểm). TXĐ D  1; , xD 0 và fm 0 2. 0,5 x 13 x 1 x 1 1 1 3 x 1 x 1 1 1 3 x 1 Ta có limfx lim lim lim lim . x 0 x 0x x 0 x x 0 x x 0 x 0,5 x 1 1 1 1 1 3 x 1 1 1 lim lim và lim lim . 2 0,5 xx 00x x 11 2 xx 00x 1 33xx 1 1 3 1 1 5 Suy ra limfx . 0,5 x 0 2 3 6 5 17 Hàm số fx liên tục tại x 0 lim f x f 0 m 2 m . 0,5 Câu I x 0 66 (5,5 2. (3,0 điểm). Không gian mẫu  10!. 0,5 điểm) -Gọi A là biến cố xếp được theo yêu cầu bài toán. -Xếp 6 học sinh nam có 6! cách xếp. Mỗi cách xếp 6 học sinh nam ta xem mỗi học sinh nam là một 0,5 vách ngăn tạo ra 7 vị trí trống bao gồm 5 vị trí trống ở giữa và 2 vị trí trống ở hai đầu hàng. -Số cách xếp hai bạn nữ Trang và Thủy cạnh nhau là 2! -Hai hs nữ Trang và Thủy luôn cạnh nhau nên xem 2 bạn như 1 bạn và 2 bạn nữ còn lại ta có 3 bạn 0,5 nữ. 3 -Số cách xếp sao cho hai bạn nữ còn lại không cạnh nhau và không cạnh Trang và Thủy là A7 . 0,5 3 3 6!.2!.A7 1 Khi đó,  A 6!.2!.A7 . Vậy pA . 10! 12 1,0 1. (5,0 điểm) Câu II (7,0 điểm) SHA  SBC SH  a) (2,5 điểm). (Ta có SHA  ABC  SH  ABC và AH ABC nên SH AH 1 0,5 SBC  ABC  Mặt khác AH BC (2)
3. Từ (1) và (2) suy ra AH SBC , suy ra hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng SBC là SH . 0,5 Do đó, SA,, SBC SA SH ASH (vì tam giác SHA vuông tại H ). 0,5 Theo gt SA, ABC SA , AH SAH 6000 ASH 30 . Vậy SA, SBC 300 . 1,0 aa33 b) (2,5 điểm).Ta có AB BC.cos300 a 3 AH AB .sin30 0 SH AH .tan 60 0 22 và AC a. Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC , suy ra AC SHI SAC  SHI và 0,5 SHI  SAC SI . Trong tam giác SHI kẻ HK SI HK  SAC hay d H; SAC HK . 0,5 Mặt khác . 2 d B; SAC BC BC22 BC 2 a 2 4 d B ; SAC 4 d H ; SAC 4 HK . d H; SAC HC HC. BC AC a 0,5 AB a 3 Ta có HI . Trong tam giác vuông SHI ta có 44 93aa22 22 . SH.3 HI a 36aa 1,0 HK 4 16 . Vậy d B; SAC 4 HK 4. . 22 2 2 SH HI 33aa 2 13 2 13 13 24 2. (2,0 điểm) a)(1,0 điểm). I là trung điểm của AH , ta có MI// AB MI  AC I là trực tâm tam 0,5 giác AMC  CI AM . Mặt khác NK AM NK// CI K là trung điểm của HI. 0,5 2aa 2 2 0,5 b) (1,0 điểm).Giả sử A 2 a 4; a , từ AK 3; KH H 33 a 1 2 0,5 Lại từ AK. MH 0 10 a 13 a 23 0 23 A 2; 1 a lo¹i 10 33 4x y x y 3 xy 2 x y (1) 1.(2,5 điểm). 3 y 2 x x2 y xy 4 x 1 (2)
4. x 2 1) Điều kiện . y 3 (1) 2x y 3 2 x y y3 y 2 2 2xyy 2 xyyxyy 2 1 xy . 0,5 Thay xy vào phương trình 2 ta được: 3 x 2 x x32 x 4 x 1 x 5 x 4 32 x 5 x 4 3x 2 x x x 4 x 1 (*) 0,5 3 3 3 3 x 5 30 x 3 Với 23 x , ta có x 4 20 x Câu 3 III 1 x22 x 2 x x 2 (*) x2 x 2 x 2 (4,0 xx 54 9 32 xx điểm) 33 11 x2 x 2 9 x 2 0 0,5 xx 54 32 xx 33 xx2 20 11 9 x 2 0 vn do VT 0,  x  2;3 0,5 xx 54 32 xx 33 2 xy 1 1. xx 20 xy 2 2. 0,5 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm xy; là 1; 1 và 2;2 . 2) (1,5 điểm). sinx 1 0,5 2 1 sinx 1 . 2sin x 2 m 3 sin x m 2 0 sin x 2 sinxm 2 3 0,5 +) pt sinx 1 có đúng một nghiệm x ; 2 6 2 1 3 5 +) pt sin x có đúng 2 nghiệm ; là xx ;. 2 62 66 0,5 15 Ycbt 1 mm 2 1 . 22
5. 1) (1,5 điểm) Ta có: 3.nu 2n22 6 n 3 2 n 6 n 3 3 1 u n n1 . u 3 n . u n 1 . u 3 n . u n 1223 n 1 n 2 n 1 n 2 2 nn 1 n. n 1 n . n 1 n 1 11 n 1 . unn 1 2 3 n . u 2 ,  n 1. n 1 n 0,5 v 3 1 1 Đặt vnn n. u 2 ,  n 1. Khi đó ta có dãy vn xác định bởi n vnn 1 3 v ,  n 1. n 1 n1 n Suy ra dãy là cấp số nhân công bội q 3, suy ra vnn v1. q 3 n . u 2 3 n 0,5 n 31 unn 3 ,1  và nn n nu. n 31 0,5 lim nn lim 2 0. 4 4n .4 2) (2,0 điểm). 2 2 22 2 a) (0,5 điểm). Ta có xyz 2 x 2 x 2x yxyz 2 xyz (1). 0,25 zx x y 1. x y z y 1 x y x 2 y z 2 z 4 y 3 33x22 2 x z z x 0,25 b)(1,5 điểm).Ta có P x 2 y 1 y 1 x y 22 x 2 y 1 y 1 x y zx x y z Câu Theo a) y 1. y 1 x y x IV 0,5 x y z x y x z (3,5 Khi đó x 2 y 1 x y y 1 x y x 2 y 1 . xx điểm) 22 x z x z x 2x Ta được . x 21 y x y x z x y 0,5 2 xz z3 x22 2 x x 3 x Do đó P 22 x 2 y 1 y 1 x y x y x y x y 22 x x 3 x 1 3 P 3. 3. 3 (2). x y x y 4 x y 2 4 3 0,5 Vậy Pmax khi (1) và (2) đồng thời xảy ra 4 x y z 1 x y z xy x 1 3 zx 2 . xy 2 2 x2 y 2 z 2 2 x z 2 2 2 x y z 2 x 3