Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 1 Lớp 11 năm học 2020-2021 môn Toán - Trường THPT Trần Nguyên Hãn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng 1 Lớp 11 năm học 2020-2021 môn Toán - Trường THPT Trần Nguyên Hãn (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 1 TRƯỜNG THPT TRẦN NGUYÊN HÃN LỚP 11 - NĂM HỌC 2020-2021 Môn: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Thời gian bàm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: . Số báo danh: Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1) 3 sin 2x 3 6sinx 3 cos x 0 3x 2sin(2 ) 3cos 3x (1 3tan 2 x ) 2) 2 4 1 2sinx 1 3) xx2 2 x 2 3 3sin 2x 2cos2 x Câu 2 (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y sin 2x 2cos 2 x 4 Câu 3 (4 điểm): 1 1 1 1) Tính tổng S 2 2  2  AA2 3 A 2020 2) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 11 đồng thời tổng của 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11. Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD, hình chiếu của điểm D lên AB, BC lần lượt là M(-2;2), N(2;-2). Biết rằng đường thẳng DB có phương trình là 3x - 5y + 1 = 0 và hoành độ điểm B lớn hơn 0. Tìm tọa độ điểm B. Câu 5 (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SA và E là trung điểm của SB; P thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SP. 1) Dựng giao điểm của DB với mặt phẳng (MPE). 2) Gọi N là một điểm thuộc cạnh SB, mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. SB SD Chứng minh 5 SN SQ Câu 6 (2 điểm): Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3 a b c 3 Chứng minh rằng P = ab 3 c bc 3 a ca 3 b 4 Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên, Chữ kí của cán bộ coi thi:
2. ĐÁP ÁP ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 11- LẦN1- NĂM HỌC 2020-2021 Câu Đáp án Điểm 1) Biến đổi thành (2sinx 1)( 3cos x 3) 0 1 1 5 giải ta được x= k2 ; x= k2 ( 3 cosx 3 0 vô nghiệm) 6 6 1 1 2)Điều kiện sin x và cosx 0 Biến đổi thành 2 sin(3x ) sinx 3 1 x k 6 k 1 x 3 2 7 Đói chiếu đk pt có nghiệm x kx2 , kx 2 , k 6 6 3 3)Đk x 2 Bpt đưa về 2 (xx 2 2) ( x 2 1) 0 1 (xx 3)( 2) x 3 0 x2 x 2 2 x 2 1 1 x 3 Từ gt ta có (y 3)sin 2 xy (2 1)cos 2 x 1 4 y 9 6 5 9 6 5 0,5 Pt trên có nghiệm cho ta y 2 11 11 1,25 kết luận GTLN của y bằng 9 6 5 11 0,25 GTNN của y bằng 9 6 5 11 1 1 1 1 1) Ta có 2 Akkk ( 1) k 1 k 1 1 1 1 1 1 2019 Cho k 2,3, , 2020 S 1  .= 3 2 2 3 2019 2020 2020 1 2) Gọi số cần tìm là abcd (a c ) ( b d ) 11  suy ra a+c và b+d đều chia hết cho 11 (a c ) ( b d ) 11 1 Có 2+9=3+8=4+7=5+6 nên có 4.2.3.2=48 số 1
3. Gọi I(x;y) là tâm hình bình hành ABCD, do IM=IN nên x=y có I thuộc BD nên 3x-5y+1=0 từ đó suy ra x=y= 0,5 0,75 34 có IB=ID=IM= do đó D,B thuộc đường tròn dường kính BD 2 12 1 2 17 có pt là (x )( y ) (1). 2 2 2 4 Lại có tọa độ B,D thỏa mãn 3x-5y+1=0 (2) 0,75 Giải hệ (1),(2) vói hoành độ điểm B lớn hơn 0 ta được B(3;2) 0,5 1) Gọi O là tâm của đáy ,SO cắt MP tại I,IE cắt DB tại J là điểm càn dựng 2 2)Ta c/m bổ đề :cho tam giác SAB ,O là trung điểm của AB.Một SA SB SO đt cắt SA,SO ,SB tại M,N,P CMR 2 (1) 5 SM SP SN CM : kẻ AH//MN ,BK//MN ( H,K thuộc SO) ta có SA SH SB SK ,, OH OK SM SN SP SN (1) 1 SB SD SA SC2 SO Áp dụng bổ đề trên ta được ( ) =5 1 SN SQ SM SP SI a b c 1) (1điểm) ta có P= (acbc )( ) ( bcba )( ) ( cacb )( ) a a( a c ) a ( b c ) 3 a 1 ,tương tự và cộng laị ta được P (a ba )( c ) 8 8 4 9 (a b c )2 ab ac bc 6 4 8 9 (a b c )2 1 3 (a b c )2 4 8 24 4 (a b c )2 (Do ab bc ca ) 3 1 Dấu bằng khi a=b=c=1