Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán-Lớp 8 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 02 trang PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 318 mà chia hết cho 7? A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 Câu 2. Tập nghiệm của phương trình 2x 3 4x2 1 0 3 1  3 1  3 1  3 1  A. m ; . B. m ; . C. m ; . D. m ; . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 160m . Nếu tăng chiều rộng thêm 10m , giảm chiều dài 10m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 200m2 . Tính diện tích mảnh đất khi chưa thay đổi kích thước. A. 1365m2. B. 1375m2. C. 1385m2. D. 1395m2. 2 1 2x 3x 2 Câu 4 Với x 2thì biểu thức M được rút gọn bằng x 2 x 2 4 x2 2x 2x 2x 2x A.  B.  C.  D.  x 2 x 2 x 2 x 2 Câu 5 Phân tích đa thức x2 9xy 20y2 ta được kết quả A. x 4y x 5y B. x 4y x 5y C. x 4y x 5y D. x 4y x 5y Câu 6 Cho a là một nghiệm của đa thức g x x2 3x 1. Tính giá trị của biểu thức P a4 13a3 34a2 19a 20112024. A. 20112019. B. 20112020. C. 20112021. D. 20112022. Câu 7. Cho biểu thức M 2a2 b2 2ab 2a 2b 35 . Biểu thức M có giá trị nhỏ nhất bằng A. 30. B. 29. C. 28. D. 27. Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi M là điểm trên cạnh AB , lấy điểm N trên cạnh BC sao cho AM x, BN y 0 x, y a . Tia MN cắt đường thẳng DC tại điểm P . Tính độ dài đoạn thẳng CP theo a, x, y. a2 a x y xy a2 a x y xy A. CP  B. CP  y y a2 a x y xy a2 a x y xy C. CP  D. CP  y y Câu 9. Một bác nông dân có 48m rào thép B40. bờ tường Bác ấy muốn rào một sân vườn hình chữ nhật, bằng cách tận dụng một chiều dài của hình chữ nhật là bờ tường có sẵn, chỉ có ba mặt sân vườn là bờ rào bằng thép. Hỏi diện tích sân vườn lớn nhất có thể là bao nhiêu? A. 280m2. B. 284m2. C. 288m2. D. 290m2. Câu 10. Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 24cm và 10cm.Tính chu vi hình thoi đã cho.
2. A. 52cm. B. 58cm. C. 60cm. D. 62cm. II. PHẦN TỰ LUẬN (7,5 điểm) Bài 1 (2,0 điểm) 1 x3 x 1 a) Rút gọn biểu thức A x 1 x 2 với x 1. 1 x 1 x b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2 2xy 3x y 20 . c) Cho các số nguyên m,n, p thỏa mãn m3 2n3 4 p3 và biểu thức S m n p . Chứng minh rằng S3. Bài 2 (2,0 điểm). 5 3 2 a) Giải phương trình x2 x 6 2 4x x2 4x 3 2 b) Giải phương trình x2 8x 7 4 x 2 256 Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân có các đường cao BD,CE cắt nhau tại H . a) Chứng minh rằng AD.AC AE.AB . b) Gọi M , I thứ tự là trung điểm của BC và DE . Chứng minh rằng đường thẳng MI đi qua trung điểm của AH . c) Gọi O là giao ba đường trung trực của tam giác ABC . Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của O trên các cạnh CA, AB theo thứ tự đó. Tính giá trị của biểu thức OM 3 ON 3 OP3 T  HA3 HB3 HC3 Bài 4 (0,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a8 b8 c8 2 a 1 b 1 c 1 Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8 ĐỀ THI CHỌN HSNK ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2019-2020
3. Hướng dẫn chấm có 06 trang I. Một số chú ý khi chấm bài - Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi cán bộ chấm thi cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – thang điểm (Mỗi câu trả lời đúng 0,25 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 `10 Đáp án B D B A D C A B C A Câu 1. Dãy các số tự nhiên chia hết cho 7 và nhỏ hơn 318 là 0;7;14; ;318 . Do đó có tất cả 315 0 : 7 1 46 . Chọn phương án B. Câu 2 3 x 2 2x 3 0 2 3 1  2x 3 4x 1 0 x ;  4x2 1 0 1 2 2 x2  2 Chọn phương án D Câu 3 Gọi chiều rộng là x m chiều dài là 80 x m 0 x 40 Từ giả thiết suy ra x 10 80 x 10 x 80 x 200 Giải được x 25 Do đó diện tích mảnh đất khi chưa thay đổi kích thược bằng 25.55 1375 m2 Chọn phương án B. Câu 4. Vớii x 2thì biểu thức 2 1 2x 3x 2 2 x 2 x 2 1 2x 3x 2 2x x 2 2x M x 2 x 2 4 x2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Chọn phương án A. Câu 5 Ta có x2 9xy 20y2 x2 4xy 5xy 20y2 x x 4y 5y x 4y x 4y x 5y Chọn phương án D. Câu 6 Ta có Theo bài ra a2 3a 1 0 . Thực hiện biến đổi được P a2 3a 1 a2 10a 3 20112021 20112021 Chọn phương án C. Câu 7. Ta có
4. A x M a-x B y N a-y D C P M 2a2 b2 2ab 2a 2b 35 M b2 2 a 1 b a2 2a 1 a2 4a 4 30 2 2 M b a 1 a 2 30 Chọn phương án A. Câu 8. Theo ĐL Ta-let CP CN CP a y MB NB a x y a2 a x y xy CP y Chọn phương án B. Câu 9. Gọi chiều dài là x m , chiều rộng là y m x y 0 . Khi đó x 2y 48 Diện tích sân vườn là S xy S y 48 2y 2y2 48y 2 y2 24y 122 288 S 2 y 12 2 288 Mặt khác
5. 2 S 2 y 12 288 288 bờ tường Dấu đẳng thức xảy ra khi y 12 Từ đó suy ra max S 288m2 sân vườn Khi y 12, x 24 Chọn phương án C. Câu 10. Theo định lí Pi-ta-go độ dài mỗi cạnh hình thoi là 122 52 13 cm Do đó chu vi hình thoi đã cho là 4.13 52 cm Chọn phương án A. Nội dung trình bày Điểm Bài 1 (2,5 điểm) 1 x3 x 1 a) Rút gọn biểu thức A x 1 x 2 với x 1. 1 x 1 x 2,5 b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn x2 2xy 3x y 20 . c) Cho các số nguyên m,n, p thỏa mãn m3 2n3 4 p3 và biểu thức S m n p . Chứng minh rằng S3. a) Với x 1ta có 2 1 x 1 x x 1 x 0,25 A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x2 x  0,25 1 x 1 x x 1 2 0,25 x 1 1 x 1 x 1 x2 0,25 b) Ta có x2 2xy 3x y 20 2xy y x2 3x 20 y 2x 1 x2 3x 20 x2 3x 20 y (do x ¢ nên 2x 1 0 ) 2x 1 0,25 4x2 12x 80 4x2 4x 1 8x 4 85 4y 4y 2x 1 2x 1 2 2x 1 4 2x 1 85 85 4y 4y 2x 1 4 2x 1 2x 1
6. Vì x, y ¢ nên 85 2x 1 Mặt khác 2x 1lẻ do đó 0,25 2x 1 1; 5; 17; 85 2x 2;0; 6;4; 18;16; 86;84 x 1;0; 3;2; 9;8; 43;42 Thử lại thu được x 1;0; 3;2; 9;8; 43;42 x; y 1;22 ; 0; 20 ; 3;4 ; 2; 2 ; 9; 2 ; 8;4 ; 43;20 ; 42;22  0,25 Vậy x; y 1;22 ; 0; 20 ; 3;4 ; 2; 2 ; 9; 2 ; 8;4 ; 43;20 ; 42;22  Lưu ý: Không trừ điểm nếu quên kết luận. c) Ta có 0,25 m3 2n3 4 p3 m3 n3 p3 3 n3 p3 Do đó 3 n3 p3 S m3 n3 p3 m n p m3 m n3 n p3 p m m 1 m 1 n n 1 n 1 p p 1 p 1 0,25 Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên m m 1 m 1 n n 1 n 1 p p 1 p 1 3 0,25 3 3 3 3 Do đó 3 n p S 3 S3do 3 n p đpcm. Bài 2 (2,0 điểm). 4 3 a) Giải bất phương trình x2 2x 3 x2 x 2 2,0 2 b) Giải phương trình x2 8x 7 4 x 2 256 x 3 x2 2x 3 0 x 1 x 3 0 a) ĐKXĐ: x 1 2 0,25 x x 2 0 x 1 x 2 0 x 2 Khi đó 0,25
7. 4 3 x 2 2 x 3 x 2 x 2 4 3 ( x 1 ) ( x 3 ) ( x 1 ) ( x 2 ) 4 3 0 ( x 1 ) ( x 3 ) ( x 1 ) ( x 2 ) 4 ( x 2 ) 3 ( x 3 ) 0 ( x 1 ) ( x 3 ) ( x 2 ) x 1 0 ( x 1 ) ( x 3 ) ( x 2 ) 1 0 ( x 3 ) ( x 2 ) ( x 3 ) ( x 2 ) 0 x 3 0 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 3 0,25 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 Kết hợp ĐKXĐ bất phương trình có nghiệm là x 2 0,25 x 1 b) Ta có 2 2 2 2 2 2 0,25 x 8x 7 4 x 256 x 8x 16 16 7 4 x 256 x 4 4 32 x 4 2 256 7 x 4 2 256 0,25 x 4 4 25 x 4 2 0 x 4 2 x 4 2 25 0 x 4 0 x 4 x 4 5 x 9 0,25 x 4 5 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;4;9 0,25 Bài 3 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân có các đường cao BD,CE cắt nhau tại H .
8. a) Chứng minh rằng AD.AC AE.AB . b) Gọi M , I thứ tự là trung điểm của BC và DE . Chứng minh rằng đường thẳng MI đi qua trung điểm của AH . c) Gọi O là giao ba đường trung trực của tam giác ABC . Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của O trên các cạnh CA, AB theo thứ tự đó. Tính giá trị của biểu thức OM 3 ON 3 OP3 T  HA3 HB3 HC3 A J D P I N E O H B M C K a) Ta có ·ADB ·ACE 900 (vì BD,CE là các đường cao của ABC ) 0,25 Xét ABD và ACE có B· AC chung 0,25 ·ADB ·ACE 900 (chứng minh trên) Do đó ABD ∽ ACE (g-g) 0,25 AB AD Suy ra AB.AE AC.AD đpcm. 0,25 AC AE b) Gọi J là trung điểm của AH . Ta cần chứng minh M , I, J thẳng hàng. 0,25 Dễ dàng chỉ ra được các tam giác ADH, AEH, BDC, BEC vuông, 0,25 Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có BC ME MD 2 ME MD 0,25 AH JD JE JD JE 2 Suy ra MJ là trung trực của DE , do đó MJ qua I đpcm. 0,25
9. c) Gọi K là điểm đối xứng với Aqua O . Theo tính chất đối xứng và giao điểm của 3 đường trung trực OC OA OK OB ACK, ABK lần lượt vuông tại B,C . BH  AC,CK  AC CK / /BH 0,25 Suy ra CH  AB, BK  AB CH / /BK BHCK là hình bình hành. Do đó H,M , K thẳng hàng. 1 Từ đó suy ra OM là đường trung bình của AHK OM AH 2 1 1 0,25 Chứng minh tương tự ON BH,OP CH 2 2 OM 3 ON 3 OP3 1 Do đó T 8OM 3 8ON 3 8PO3 8 Bài 4 (0,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a8 b8 c8 2 a 1 b 1 c 1 Với a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác ta có 2 a2 a2 b c a2 a b c a b c 2 2 2 2 b b c a b b c a b c a c2 c2 a b 2 c2 c a b c a b abc a b c b c a c a b 0,25 Áp dụng BĐT trên khi a b c 3ta có abc 3 2a 3 2b 3 2c abc 27 8abc 12 ab bc ca 18 a b c 4 abc ab bc ca 3 3 4 2 8 4 a 1 0 a 2a 1 Mặt khác a8 4a2 3 2 2 4 2 a 1 0 a 2a 1 Chứng minh tương tự ta có b8 4b2 3; c8 4c2 3 Do đó 0,25
10. S a8 b8 c8 2abc 2 ab bc ca 4 8 S 4 a2 b2 c2 9 ab bc ca 6 2 ab bc ca 4 3 2 S 4 a2 b2 c2 ab bc ca 11 3 1 2 11 S a b c a2 b2 c2 11 3 3 1 2 11 2 S a b c a b c 11 3 9 14 S 9 11 S 3 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 1 Vậy min S 3 khi a b c 1 Hết