Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có hướng dẫn chấm)

1. ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021-2022 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (5,0 điểm) 6x 1 6x 1 x2 36 1. Cho biểu thức A 2 2 . 2 x 6x x 6x 12x 12 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A 1 b) Tính giá trị của biểu thức A với x 9 4 5 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 1 x2 x 2 12 Câu 2 (3,0 điểm) 1. Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc thì a = b = c. 2. Cho đa thức f(x) = x3 -3x2 + 3x - 4. Với giá trị nguyên nào của x thì giá trị của đa thức f(x) chia hết cho giá trị của đa thức x2 + 2 . Câu 3 (4,0 điểm) 4 2 6 3 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 5x 10x 2y 4y 6 0 1 6y 2 2. Giải phương trình sau: 3y2 10y 3 9y2 1 1 3y Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì? Vì sao? b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB. Chứng minh EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P. Câu 5 (2,0 điểm) 1. Chứng minh rằng n4 7(7 2n2 ) chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ. 2. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 16x 4y z Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021-2022 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1. (3,0 điểm) a. (2,0 điểm) a) ĐKXĐ: x 0; x 6 0,25 điểm 6x 1 6x 1 x 6 x 6 0,5 điểm A . 2 x x 6 x x 6 12 x 1 6x2 36x x 6 6x2 36x x 6 1 0,5 điểm = . x 12 x2 1 2 12 x 1 1 0,5 điểm . x 12 x2 1 1 0,25 điểm 1 x (5,0 b. (1,0 điểm) điểm) 1 0,25 điểm x 9 4 5 thỏa mãn ĐKXĐ 1 1 0,25 điểm A x 1 9 4 5 9 4 5 0,25 điểm 2 5 0,25 điểm 2. (2,0 điểm) Đặt x2 x 1 t ta có x2 x 2 t 1 0,5 điểm Khi đó t(t+1) – 12 = (t-3)(t+4) 0,5 điểm x2 x 1 x2 x 2 12 x2 x 2 x2 x 5 0,5 điểm x 1 x 2 x2 x 5 0,5 điểm 1. (1,5 điểm) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc 0,25 điểm 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 0,25 điểm 2 2 2 a b a c b c 0 0,5 điểm 2 2 2 Vì a b 0, a c 0, b c 0 0,25 điểm
3. 2 2 2 Nên a b a c b c 0 khi a = b = c 0,25 điểm 2 (3,0 2. (1,5 điểm) 2 điểm) Chia f (x) cho x 2 được thương là x 3 dư x 2. 0,25 điểm để f (x) chia hết cho x2 2 thì x 2 chia hết cho x2 2 0,25 điểm 2 x 2 x 2 chia hết cho x 2 2 2 x 4 chia hết cho x 2 2 2 x 2 6 chia hết cho x 2 0,25 điểm 2 6 chia hết cho x 2 2 x +2 là ước của 6 mà x2 2 2 0,5 điểm => x2 2 3;6 => x 1; 2 Thử lại ta thấy x 1; x 2 thỏa mãn 0,25 điểm Vậy với x 1 ; x 2 thì f (x) chia hết cho x2 2 1. (2,0 điểm) 5x4 10x2 2y6 4y3 6 0 0,25 điểm 5x4 10x2 5 2y6 4y3 2 13 5(x4 2x2 1) 2(y6 2y3 1) 13 0,5 điểm 5(x2 1)2 2(y3 1)2 13 x Z x 2 1 Z 0,25 điểm Vì: 3 y Z y 1 Z x 2 1 1 0,25 điểm x 2 0 x 0 2(y3 1)2 8 (y3 1)2 4 0,25 điểm 3 y3 1 2 y3 1 0,5 điểm (4,0 3 3 điểm) y 1 2 y 3 Vì y Z nên y3 1 y 1 Vậy phương trình có một nghiệm nguyên x;y 0;1 2. (2,0 điểm) 1 0,25 điểm ĐKXĐ: y 3; y 3 1 6y 2 0,5 điểm (1) 3y – 1 y 3 3y – 1 3y 1 3y 1 3y 1 6y(y 3) 2(y 3)(3y 1) 0,25 điểm 3y 1 6y2 18y 6y2 16y 6 0,25 điểm 5y 5 0,25 điểm y 1(TMĐK) Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1 0,5 điểm
4. 0,5 điểm F A B I E O M P D C a. (2,0 điểm) Gọi O là giao điểm của AC và BD 1,0 điểm Ta có O là trung điểm của AC 4 P là trung điểm của MC (6,0 Hay PO là đường trung bình của ACM hay AM / /PO 0,5 điểm điểm) Vậy BD / / AM hay tứ giác AMDB là hình thang. 0,5 điểm b. (2,0 điểm) Do AM / /BD hay O· BA M· AE (đồng vị) 0,25 điểm Xét OAB cân ta có: O· BA O· AB 0,25 điểm Gọi I là giao điểm của MA và EF, ta thấy AEI cân ở I hay 0,25 điểm I·AE I·EA Suy ra F· EA O· AB hay EF / / AC(1) 0,5 điểm Mặt khác IP là đường trung bình của MAC suy ra 0,5 điểm IP / / AC(2) Từ (1) và (2) suy ra: E,F,P thẳng hàng 0,25 điểm c. (1,5 điểm) a) Chứng minh MAF : DBA(g.g) 1,0 điểm MF AD 0,5 điểm không đổi. FA AB 1. (1,0 điểm) n4 7(7 2n2 ) n4 14n2 49 (n2 7)2 0,25 điểm Do n là số nguyên lẻ nên n 2k 1 ( k ¢ ) 0,25 điểm 2 2 2 2 2 2 Khi đó (n 7) (2k 1) 7 4k 4k 1 7 5 2 2 2 (2,0 4(k k 2) 16k(k 1) 2 điểm)Vì k,k 1 là hai số nguyên liên tiếp k(k 1) chia hết cho 2 0,25 điểm 2 k(k 1) 2chia hết cho 2 nên k(k 1) 2 chia hết cho 4 2 16k(k 1) 2 chia hết cho 64. 0,25 điểm Vậy n4 7(7 2n2 ) chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ.
5. 2. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 y x z x z y 21 0,25 điểm P= x y z 16x 4y z 16x 4y z 16x 4y 16x z 4y z 16 y x 1 0,25 điểm Theo BĐT Cô Si ta có: dấu “=” khi y 2x ; 16x 4y 4 z x 1 z y 0,25 điểm Tương tự: dấu “=” khi z 4x ; 1 dấu “=” 16x z 2 4y z khi z 2y ; 49 1 2 4 0,25 điểm P . Dấu “=” xảy ra khi x ; y ; z 16 7 7 7 49 1 2 4 Vậy Min P khi với x ; y ; z 16 7 7 7 Hết