Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi đề xuất chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 (Có hướng dẫn chấm)

1. ĐỀ THI ĐỀ XUẤT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021 - 2022 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1 (6,0 điểm):Cho biểu thức: 2 ― 9 + 3 2 ― 1 ) = 2 ― 5 + 6 ― ― 2 ― 3 ― ( ớ푖 ≠ 2, ≠ 3 a) Rút gọn A b) Tính giá trị của biểu thức A khi |2 ― 1| = 3 2 c) Tìm các giá trị nguyên của x để ― + 1 nhận giá trị nguyên 푃 = ― 1 . d)Tìm các giá trị của x để = + 2 Câu 2 (3,0 điểm): 1. Cho 3 số , , 푡hỏ ã푛 = 2022. Tính 2022 = + + + 2022 + 2022 + + 2022 + + 1 2. Xác định các số a , b biết 2 3 + + chia cho +1 dư -6, chia cho x-2 dư 21 Câu 3 (3,0 điểm): 1. Giải phương trình: ( ― 7)( ― 5)( ― 4)( ― 2) = 72 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của 퐾 = 2 2 + 2 ― 2 +2 +2024 Câu 4 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi. c) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . 1 Câu 5 (2,0 điểm): Cho . Chứng minh rằng: 2 2 2 + + = 1 + + ≥ 3 Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2021 – 2022 MÔN: TOÁN Câu Nội dung Điểm a)Rút gọn A 1,5 2 ― 9 + 3 2 ― 1 = ― ― 2 ― 5 + 6 ― 2 3 ― 2 ― 9 + 3 2 ― 1 0,75 = ― + ( ― 3)( ― 2) ― 2 ― 3 2 ― 3 + 2 ( ― 1)( ― 2) ― 1 0,75 = = = ( ― 2)( + 3) ( ― 2)( ― 3) ― 3
2. b) Tính giá trị của biểu thức A khi |2 ― 1| = 3 1,5 1:(6,0 điểm) ― 1 Ta có = ― 3( ớ푖 ≠ 2, ≠ 3) |2 ― 1| = 3 2 ― 1 =± 3 0,5 *2 ― 1 = 3 2 = 4 x = 2 0,5 *2 ― 1 = ―3 2 = ―2 x = ― 1 Với = 2 không thỏa mãn ĐK ta không thay vào A 0,5 ―1 ― 1 1 Với = ―1 thỏa mãn ĐK thay vào A ta được = ―1 ― 3 = 2 2 c) Tìm các giá trị nguyên của x để ― + 1 nhận giá trị 1,5 푃 = ― 1 . nguyên ― 1 0,5 Ta có = ― 3( ớ푖 ≠ 2, ≠ 3) 2 2 ― 1 2 ― + 1 ― + 1 ― + 1 , 푃 = ― 1 . = ― 1 . ― 3 = ― 3 ( ớ푖 ≠ 2, ≠ 3 ≠ 1) 2 ― + 1 7 0,5 푃 = = + 2 + ― 3 ― 3 Để P nguyên khi ― 3 푙à ướ ủ 7 à Ư(7) = { ± 1; ± 7} Kết hợp với ĐKXĐ ta tìm được ∈ { ―4;4;10} thỏa mãn yêu cầu 0,5 đề bài 1,5 d)Tìm các giá trị của x để = + 2 ― 1 0,5 Ta có = ― 3( ớ푖 ≠ 2, ≠ 3) ― 1 ― 3 = + 2( ớ푖 ≠ 2, ≠ 3, ≠ ―2) =>( + 2)( ― 1) = ( ― 3) 1,0 2 + ― 2 = 2 ―3 2 + ― 2 +3 = 2 4 = 2 1 = 2 (thỏa mãn ĐK) 2022 1,5 1. = + 2022 + 2022 + + + 2022 + + + 1 2 0,5 = + + + 2 + + + + + 1
3. 2 0,5 = + + ( + + 1) ( + + 1) + + 1 1 0,5 = + + = 1 2:(3,0 1 + + + + 1 + + 1 điểm) 2. Xác định các số a , b biết 2 3 + + chia cho + 1 dư -6, 1,,5 chia cho x-2 dư 21 2 3 + + chia cho + 1 dư -6 =>2 3 + + = ( + 1) ( ) ―6 0,25 => ―2 ― + = ―6 => ― = ―4 (1) 2 3 + + chia cho x-2 dư 21 =>2 3 + + = ( ― 2) ( ) +21 0,25 =>16 + 2 + = 21=>2 + = 5 (2) Từ (1) và (2) ta tìm được = 3, = ―1 1,0 1. Giải pt: ( ― 7)( ― 5)( ― 4)( ― 2) = 72 1,75 [( ― 7)( ― 2)][( ― 5)( ― 4)] = 72 ( 2 ― 9 + 14)( 2 ― 9 + 20) = 72 0,25 Đặt 2 ―9 + 17 = 푡 =>(푡 ― 3)(푡 + 3) = 72 푡2 ―9 ― 72 = 0 0,25 푡2 ―81 = 0 0,25 (푡 ― 9)(푡 + 9) = 0 푡 ― 9 = 0 hoặc 푡 + 9 = 0 3:(3,0 * 푡 ― 9 = 0 푡 = 9 điểm) * 푡 + 9 = 0 푡 = ―9 0,25 Với 푡 = 9 2 ―9 + 17 = 9 2 ―9 + 8 = 0 = 1 hoặc = 8 0,25 Với 푡 = ―9 2 ―9 + 17 = ―9 2 ―9 + 26 = 0 81 25 2 25 25 2 ―9 + + = 0 ― 9 + ≥ ∀ => pt vô nghiệm 4 4 2 4 4 0,25 Vậy pt có tập nghiệm 푆 = {1;8} 0,25 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của 퐾 = 2 2 + 2 ―2 + 2 + 2024 1,25 Phân tích :퐾 = 2 + 2 +1 ― 2 ― 2 + 2 + 2 +2 + 1 + 2022 0,5 퐾 = ( ― ― 1)2 + ( + 1)2 + 2022 0,25 Lập luận rồi kết luận GTNN là 2021 khi = ―1, = ―2 0,5 Hinh vẽ 0,5 E D A M Q B C P I H
4. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC. 2,0 Chứng minh EBD ∽ ECA (g-g) 1,0 EB ED - Từ đó suy ra EA.EB ED.EC 1,0 EC EA b)Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng 2,0 BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi 4:(6,0 Kẻ MI vuông góc với BC ( I BC) 0,25 0,5 điểm) Ta có BIM ∽ BDC (g-g) BM BI BM.BD BI.BC (1) 0,25 BC BD Tương tự: ACB ∽ ICM (g-g) 0,5 CM CI CM.CA CI.BC (2) BC CA 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2 BM.BD CM.CA BI.BC CI.BC BC(BI CI) BC (không 0,25 đổi) c) Chứng minh CQ  PD . 1,5 Chứng minh BHD ∽ DHC (g-g) 0,5 BH BD 2BP BD BP BD 0,25 DH DC 2DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB ∽ CQD (c-g-c)=> 푃 = 푄 0,5 mà + 푃 = 90°=> 푄 + 푃 = 90° CQ  PD 0,25 1 Cho + + = 1. Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 ≥ 3 2,0 Ta có: 0,25 ( ― )2 ≥ 0 2 ―2 + 2 ≥ 0 2 + 2 ≥ 2 ( ― )2 ≥ 0 2 ―2 + 2 ≥ 0 2 + 2 ≥ 2 0,25 ( ― )2 ≥ 0 2 ―2 + 2 ≥ 0 2 + 2 ≥ 2 0,25 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 2 2 + 2 + 2 ≥ 2 + 2 + 2 0,25 3 2 + 2 + 2 ≥ 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 0,25 5:(2,0 3 2 + 2 + 2 ≥ ( + + )2 0,25 2 2 2 điểm) 3 + + ≥ 1 0,25 2 2 2 1 + + ≥ 3 1 0,25 Dấu “=” xảy ra khi = = = 3 Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa nhưng không được vượt qúa số điểm của mỗi câu. Hết