Đề thi giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Yên Lạc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Yên Lạc (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN YÊN LẠC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm): a, Cho hàm số , biết . Chứng minh rằng . b, Tìm các số x,y,z biết rằng và Câu 2 (2,0 điểm): a, Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức có giá trị lớn nhất? b, So sánh biểu thức P với , biết ( với n!=1.2.3 n) Câu 3 (2,0 điểm): a, Chứng minh rằng số là số vô tỉ. b, Tìm tất cả các số nguyên dương thoả mãn . Câu 4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, kẻ tia Cx sao cho . Gọi D là giao điểm của các tia Cx và BA. Chứng minh rằng AD = BC. Câu 5 (1,5 điểm): a, Cho p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 và thoả mãn p = q + 2. Tìm số dư khi chia p + q cho 12. b, Cho A là một tập hợp gồm 10 chữ số, . B là một tập con của A gồm 5 phần tử. Chứng minh rằng trong tập hợp các số có dạng x + y, với x, y là hai phần tử phân biệt thuộc B, có ít nhất 2 số có cùng chữ số hàng đơn vị. c, Với mỗi số nguyên dương a, kí hiệu S(a) là số chữ số của a. Tìm số nguyên dương n để là số chẵn. Hết ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. UBND HUYỆN YÊN LẠC HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Nội dung Điểm 1 a, Ta có f(1)=a+b+c, f(-1)= a-b+c. suy ra f(1)+f(-1)=2(a+c)=0 0,5 2đ Do đó f(1) và f(-1) là hai số đối nhau, suy ra . 0,5 b, Từ giả thiết và theo t/c của dãy tỷ số bằng nhau, ta có : 0,5 Do đó x=-45, y=-60, z=-84 0,5 2 a, Biến đổi , A lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. 0,25 2đ - Nếu x>4 thì (1) 0,25 - Nếu x<4 thì . Phân số có tử và mẫu đều dương, tử không đổi nên có GTLN khi mẫu nhỏ nhất. Mẫu số 4-x là số nguyên dương, nhỏ nhất khi 4-x=1 suy ra x=3. 0,25 Khi đó (2) 0,25 Từ (1) và (2) ta thấy lớn nhất bằng 10. Vậy GTLN của A =11 khi x=3 0,5 b, Ta có . Áp dụng với n=1,2, ,2015, ta được 0,5 3 a, Giả sử là số hữu tỉ, đặt với 0,25 2đ 0,25 Ta có . Suy ra m=2017k ( k là số tự nhiên) Suy ra . Do đó (m,n)=10 ( trái với giả thiết) 0,25 Vậy là số hữu tỉ 0,25 0,25 b, Nếu Vậy trong 3 số x,y,z phải có ít nhất một số nhỏ hơn 3. 0,25
3. Gọi Nếu x=1 suy ra y=z=2 0,25 Nếu x=2 suy ra y=2, z=2 ( Loại) Vậy (x,y,z)=(1,2,2), (2,1,2), (2,2,1) 0,25 4 x D 2,5 2a E đ A a B N b M C - Kẻ CE vuông góc với CD, đặt CE=a thì ED=2a 0,5 -Trên BC lấy M,N sao cho 0,5 -Ta có 0,5 - 0,5 - Tam giác MAN đều. Đặt AM=MN=b thì AE=b. Do đó AD=b+2a, 0,5 BC=b+2a Vậy BC=AD. 5 a, Vì q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 với k 0,25 là STN. Nếu q=3k+1 thì p=3k+3 (loại) 1,5 Nếu q=3k+2 thì p=3k+4, vì q là SNT>3 nên k lẻ . ta có p+q=6(k+1), 0,25 đ chia hết cho 12 vì k+1 chẵn. Vậy số dư khi chia p+q cho 12 bằng 0. b, Giả sử trong các số có dạng x+y, với x,y là hai phần tử phân biệt 0,25 thuộc B, không tồn tại 2 số có cùng chữ số hang đơn vị. Khi đó các tổng này đều khác nhau. Giả sử . Gọi C là tập hợp các số có dạng x+y, với x,y là hai phần tử phân biệt thuộc B. Ta có . Ta thấy C có 10 phần tử và 0,25 tổng các phần tử là , là một số chẵn. Mặt khác, 10 số trong C đều có chữ số hang đơn vị khác nhau nên các chữ số hàng đơn vị này là 10 chữ số khác nhau 0,1,2, ,9. Mà 1+2+ +9=45 là số lẻ (vô lý) suy ra điều phải chứng minh. c, Giả sử có a chữ số, có b chữ số. Vì đều không thể tận 0,25 cùng bằng chữ số 0, nên và Suy ra , do đó a+b-2<n<a+b. Vậy n=a+b-1, 0,25 mặt khác a-b và a+b là hai số cùng tính chẵn lẻ, nên a-b chẵn khi a+b chẵn. Khi đó n là số lẻ.