Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! Câu1. (2,0 điểm) a) Tìm x biết: 3xx 3 2 ( 1)2016 3 x 2017 0 1 1 1 1 b) Cho B = 1+ (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 x ) 2 3 4 x Tìm số nguyên dương x để B = 115. Câu 2. (2,0 điểm) yz 1 xz 2 xy 3 1 a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn . x y z xyz Tính giá trị của biểu thức: A = 2016.x + y2017 + z2017. b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: 2x = 3y = 5z và x 2 y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của 3x – 2z. Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M = 2016x 2016 có giá trị nhỏ nhất. 3x 2 b) Cho đa thức f(x) = 2016.x4 – 32(25.k + 2).x2 + k2 – 100 (với k là số thực dương cho trước). Biết đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt a, b, c (với a < b < c). Tính hiệu của a – c. Câu 4. (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng BC cố định, M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Vẽ góc CBx sao cho CBx 450 , trên tia Bx lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng BM và BA tỉ lệ với 1 và 2 . Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn thẳng BM. Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) DN vuông góc với AC. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi khi D di chuyển trên đoạn thẳng BM. c) Tia phân giác của góc HIC luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5. (1,5 điểm) a) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn 2 p p2 là số nguyên tố. b) Trong một bảng ô vuông gồm có 5x5 ô vuông, người ta viết vào mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1. Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo mỗi cột, mỗi hàng, mỗi đường chéo phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD: Phòng thi
2. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 7 CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN 7 Lưu ý: Sau đây chỉ là gợi ý một cách giải và dự kiến cho điểm tương ứng, nếu thí sinh giải bằng cách khác và đúng, các giám khảo dựa trên gợi ý cho điểm của hướng dẫn chấm để thống nhất cách cho điểm. Câu 4 học sinh không vẽ hình (hoặc vẽ hình sai) thì không cho điểm. Tổ chấm có thể thống nhất chia điểm đến mức nhỏ hơn trong hướng dẫn và đảm bảo nguyên tắc: điểm của mỗi câu làm tròn đến 0,25; điểm của toàn bài là tổng điểm của cả 5 câu và không làm tròn Câu Nội dung cần đạt Điểm 2016 0 a) 3xx 3 2 ( 1) 3 x 2017 3x 3 2 x 1 3 x 1 (*) 1 Điều kiện để x thỏa mãn bài toán là 3x 1 0 x 3 0,25 1 Khi đó x 2 x 1 0 nên (*) trở thành 2 3x 3 2 xx 1 3 1 3 xx 3 (điều kiện x 0 ) 3 Nếu x 1 ta có 3x – 3 = x nên x = (thỏa mãn) 0,25 2 3 Nếu 0 x 1 ta có 3 - 3x = x nên x = (thỏa mãn) 4 3 3  0,25 Vậy x ;  2 4  1 0,25 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 x ( x 1) (2đ) b) B = 1+ = 2 2 3 2 4 2x 2 3 4x 1 1 0,25 = 1+ 2 3 4 (x 1) 2 2 2 2 1 x ( x 3) = 2 2 0,25 1 x ( x 3) Từ đó B = 115 khi 115 x ( x 3) 460 2 2 Mà x là số nguyên dương nên x và x + 3 là ước dương của 460 nên x = 20. Vậy x = 20 0,25 0,25 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3. x z 2 1 y z 1= = x y 3 = =2 0,25 x y z x y z 0,5 x 10,5 y 2 0,5 z 3 x+y+z = 0,5 = 2 x y z x = 1 ; y = 5 ; z = - 5 0,25 2 6 6 Khi đó ta có 2016.x + y2017 + z2017 = 2016. 1 +0 = 1008 0,25 2 yz 1 xz 2 xy 3 1 Vậy với x,y,z là các số thực thỏa mãn x y z xyz thì giá trị của biểu thức 2016.x + y2017 + z2017 là 1008 2 0,25 x2 yx 2 y (2đ) b) Ta có , 3y = 5z. 0,25 3 4 1 Nếu x-2y = 5 x= -15, y = -10, z = -6. Khi đó 3x - 2z = -45 + 12 = -33 0,25 Nếu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = 6 Khi đó 3x - 2z = 45 - 12 = 33 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của 3x – 2z là 33 0,25 2016x 2016 672(3 x 2) 2016 1344 3360 a) M 672 0,25 3x 2 3 x 2 3 x 2 3360 M nhỏ nhất lớn nhất 3x 2 3360 Xét 3x 2 0 thì 0 (1) 3x 2 3360 Xét 3x 2 0 thì 0 3x 2 3360 lớn nhất khi 3x+2 nhỏ nhất 0,25 3x 2 3 Mà x nguyên, 3x+2 dương và 3x+2 chia 3 dư 2 nên 3x+2 = 2 nên x 0 3360 3360 Khi đó: = 1680 (2) (2đ) 3x 2 3.0 2 So sánh (1) và (2) thì 3360 có giá trị lớn nhất bằng 1680 3x 2 0,25 Vậy M 1008 x 0 min 0,25 b) Ta thấy đa thức f(x) nếu có nghiệm x = a ( a khác 0) thì x = -a cũng là một nghiệm của f(x), nên đa thức f(x) có 2m nghiệm 0,25 Mà đa thức f(x) có đúng ba nghiệm phân biệt nên một trong ba nghiệm sẽ
4. B H D M I N A C bằng 0. Thay x = 0 vào đa thức đã cho ta được: k2 – 100 = 0 nên k = 10 (vì k dương). 4 2 2 2 Với k = 10 ta có f(x) = 2016.x – 8064. x = 2016x . (x – 4) 0,25 Từ đó f(x) sẽ có 3 nghiệm phân biệt là a = -2; b = 0 và c = 2 nên a – c = - 4 0,25 0,25 a) Từ M kẻ tia My vuông góc với BC và cắt tia Bx tại A’ . Tam giác BMA’ vuông cân tại M nên MB: BA’ = 1: 2 Suy ra A A' nên AM vuông góc với BC Tam giác ADC có AM và CI là đường cao nên N là trực tâm của tam giác ADC 0,75 Suy ra DN vuông góc với AC b) Ta có AMB = AMC (c- g- c) nên AB = AC và góc ACB = 450 0,25 Tam giác ABC vuông cân tại A và có BAH  ACI 900  CAH 4 H, I là hình chiếu của B và C trên AD nên H = I = 900 0,25 (2,5) Suy ra AIC = BHA (c.h – g.n) BH = AI BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (không đổi) . 0,25 c) BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA mà  IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 HMI vuông cân HIM = 450 0,5 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM là tia phân giác HIC. Vậy tia phân giác của HIC luôn đi qua điểm cố định M. 0,5 Với p = 2 thì 2 p p2 = 4+4 = 8 không là số nguyên tố 5 Với p = 3 thì 2 p p2 = 8+9 = 17 là số nguyên tố 0,25 (1,5) Với p > 3 thì p là số nguyên tố nên p lẻ nên 2p 22 k 1  2(mod3) 0,25
5. 2p 2 và p1(mod 3) nên 2 p  3 Mà 2 p p2 > 3 nên 2 p p2 là hợp số. 0,25 Vậy với p = 3 thì 2 p p2 là số nguyên tố Ta có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo nên sẽ có 12 tổng. 0,25 Mỗi ô vuông chỉ một trong 3 số 1; 0 hoặc -1 nên mỗi tổng chỉ nhận các giá 0,25 trị từ -5 đến 5. Ta có 11 số nguyên từ -5 đến 5 là -5; -4; ; 0; 1; ;5. Vậy theo nguyên lí Dirichle phải có ít nhất hai tổng số bằng nhau (đpcm). 0,25 Chú ý: - Học sinh giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. - Câu 4, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình phần nào thì không chấm phần đó.