Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Tam Dương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! Câu 1. (2,0 điểm) x y a) Tính giá trị biểu thức P . Biết x2 2y 2 xy x y 0,y 0 . x y b) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn: x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0. Câu 2. (2,0 điểm) a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức x2x4x6x8 2017 cho đa thức x2 10x 21. b) Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n – 6n5 – 26 và B = 1 + n3 – n. Chứng minh với mọi n Z thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6. Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho a và b thỏa mãn: a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức B = a3 + b3 + 3ab. b) Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn x y z 3. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . xxy2 2 yz 2 z Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM. b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF. 2 c) Kí hiệu SX là diện tích của hình X. Chứng minh S FDC 16 SAMC.SFNA. Câu 5. (1,0 điểm) Trong một đề thi có 3 bài toán A, B, C. Có 25 học sinh mỗi người đều đã giải được ít nhất một trong 3 bài đó. Biết rằng: - Trong số thí sinh không giải được bài A thì số thí sinh đã giải được bài B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải được bài C. - Số học sinh chỉ giải được bài A nhiều hơn số thí sinh giải được bài A và thêm bài khác là một người. - Số thí sinh chỉ giải được bài A bằng số thí sinh chỉ giải được bài B cộng với số thí sinh chỉ giải được bài C. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B? Hết Giám thị coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh Số báo danh Phòng thi
2. PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN 8 Câu Nội dung Điểm a)x2 – 2y2 = xy x2 – xy – 2y2 = 0 (x + y)(x – 2y) = 0 0,25 Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 x = 2y . 0,25 2yy y 1 Khi đó P = 2yy 3 y 3 0,5 Câu1 b) Ta có : 2 điểm x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0 (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – 7 = 0 (x+1)2 - (y+2)2 = 7 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 0,25 Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 0,5 x = 3; y = 1 0,25 Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1) a) Ta có Pxxxxx( ) 2 4 6 8 2017 xx2 10 16 xx 2 10 24 2017 0,25 Đặt tx 2 10 x 21 ( t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại: 0,5 Pxtt( ) 5 3 2017 tt2 2 2002 2 Do đó khi chia t 2 t 2000 cho t ta có số dư là 2002 0,25 Vậy số dư phải tìm là 2002. Câu 2 2 điểm Thực hiện phép chia, ta được: Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6 0,25 Ta có: n3 6 n 2 11 n 6 n 3 n 12 n 6 n 2 6 2 (n 1) n .( n 1) 6.(2 n n 1) 0,25 Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6 Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho 6 0,25 => Th­¬ng cña phÐp chia A cho B lµ béi sè cña 6 0,25
3. a) Ta có B = a3 + b3 + 3ab = a3 + b3 + 3ab(a+b) =(a+b)3=1 (V× a+b =1) 1 điểm b) 1 1 1 1 1 1 P xxyyzzxx2 2 2 ( 1) yy ( 1) zz ( 1) 111111 111 1 1 1 xx 1 yy 1 zz 1 xyz x 1 y 1 z 1 0,25 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với abc,, abc abc a b4 a b Câu 3 dương, dấu bằng xảy ra a b c. 2 điểm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 Ta có . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 xy 1 4 yz 1 4 z Bởi vậy 111 1 1 1 11111 1 1 P . 1 1 1 xyzx 1 y 1 z 1 xyz 4 x y z 0,25 311133 9 3933 = 4xyz 4 4 xyz 4 4 4 2 3 Vậy Min P= . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 1. 2 0,25 F A N E Câu 4 B D M C 3 điểm DF DC a) Lập luận được : ( Do AM//DF) (1) AM MC 0,25 DE BD 0,25 ( Do AM // DE) (2) AM BM DE DF BD DC BC Từ (1) và (2) 2 ( MB = MC) AM BM BM 0,25 DE + DF = 2 AM 0,25
4. b) AMDN là hình bành hành 0,25 NE AE Ta có 0,25 ND AB NF FA DM DM AE ND AC MC BM AB 0,25 NE NF => NE = NF 0,25 ND ND c) AMC và FDC đồng dạng 2 2 SAMC AM ND ( do AM = ND) 0,25 SFDC FD FD FNA và FDC đồng dạng 2 0,25 SFNA FN SFDC FD 2 2 4 0,25 SSAMC FNA ND FN 1 ND FN 1 Do đó: . . SSFDC FDC FD FD 16 FD FD 16 2 S FDC 16 SAMC.SFNA 0,25 ( Do x y 2 0 xy 2 4 xy xy 4 16 xy2 2 với x 0; y 0) Gọi a là số học sinh chỉ giải được bài A, b lµ sè thÝ sinh chØ gi¶i ®­îc bµi B, c lµ sè thÝ sinh chØ gi¶i ®­îc bµi C, d lµ sè thÝ sinh gi¶i ®­îc 2 bµi B vµ C nh­ng kh«ng gi¶i ®­îc bµi A. Khi ®ã sè thÝ gi¶i ®­îc bµi A vµ thªm Ýt nhÊt mét bµi trong hai bµi B vµ C lµ: 0,25 Câu 5 25- a- b- c- d 1 điểm Theo bµi ra ta cã: b+ d = 2( c +d); a = 1 + 25 - a - b - c - d vµ a = b + c. 0,25 4b c 26 b 6 tõ c¸c ®¼ng thøc trªn ta cã: dbc 2 0 c 2 0,25 VËy sè thÝ sinh chØ gi¶i ®­îc bµi B lµ 6 thÝ sinh 0,25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.