Đề thi học sinh giỏi các môn văn hóa đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi các môn văn hóa đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN ỨNG HÒA CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 ĐỢT I NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1. (6 điểm): x 1 x 2 x 1 Cho biểu thức : P (x 0, x 1) x1 x x 1 x x 1 1) Rút gọn biểu thức P. 2 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Qx P 3) Tính giá trị của P khi cho x 33 7 50 7 50 Câu 2. (3 điểm): Chứng minh (2nn 1)( 2 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n. Câu 3. (4 điểm): 1) Giải phương trình: 4 x 1 x2 5x 14 . 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y. Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H. 1) Chứng minh AB.AE = AC.AD KC AC2 CB 2 BA 2 2) Chứng minh KB BA2 CB 2 AC 2 AK 3) Giả sử HK . Chứng minh rằng: tan B.tanC 3 3 2 0 4) Giả sử SABC 120cm và BAC = 60 . Hãy tính SADE . Câu 5. (1 điểm): Tìm tất cả các số tự nhiên mà khi gạch bỏ một chữ số của nó thì số đó giảm đi 31 lần. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ỨNG HÒA CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 ĐỢT I NĂM HỌC 2020– 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu Nội dung Điểm 1) Rút gọn x 1 x 2 x 1 P (x 0, x 1) x1 x x 1 x x 1 1 x 2 x 1 P 0,5đ x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 2 x 1 x 1 0,5đ P x 1 x x 1 x x 1 xx 0,5đ P x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 0,5đ Câu 1 P (6.0đ) x x 1 2) 2 2x 2 x 2 x 2 x 2 Q x x 0,5đ P xx 2 Q x 2 0,5đ x 2 Theo BDT Cauchy x 2 2 x 0,5đ 2 Nên x 2 2 2 2 x 0,25đ suy ra giá trị lớn nhất Q 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x x 2 0,25đ x
3. 3) Từ x 33 7 50 7 50 323 Ta có x 7 50 7 50 3x 7 50 0,5đ x32 3x 14 0  (x 2)(x 2x 7) 0 0,5đ x 2 (Do x2 2x 7 0) 0,5đ 2 Thay x = 2 (Thỏa ĐKXĐ), ta tính được P 0,5đ 32 Do 22n 1,2 n , n 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích 0,5đ 1đ 22n 1 2 n n 1 chia hết cho 3 Câu 2 0.5đ (3đ) Mà 2n ,3 1 0,5đ Nên tích 22nn 1 1 3 0,5đ 1) Giải phương trình: 4 x 1 x2 5x 14 đk: x - 1 x2 5x 14 4 x 1 0 0,5đ 2  x 6x9 x14x14 0 0,5đ 2 2  x 3 x 1 2 0 x 3 0 x3 0,5đ  x 1 2 0 x 1 4 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x3 0,5đ 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Câu 3 x2 + y2 = xy + x + y (4 đ) 2x2 + 2y2 = 2xy + 2x + 2y 2 2 2 2 0,5đ x – 2xy + y + x – 2x + 1 + y – 2y + 1 = 2 2 2 2 (x - y) + (x - 1) + (y - 1) = 2. Vì x, y Z nên : x+y 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1,0 đ x-1 1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 y-1 1 1 -1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 (x;y) (2;2) (0;0) (1;0) (2;1) (1;2) (0;1) Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là : 0,5đ (x ; y) {(2; 2), (0; 0), (1; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 1)}
4. * Hình vẽ A D 0,5đ E H B K C 1) Xét hai tam giác vuông ABD và ACE 0,5đ Có A chung; D E 900 0,5đ Suy ra ABD đồng dạng với ACE (g.g) 0,5đ AB AD Từ đó hay AB.AE AC.AD AC AE 2) Sử dụng định lí Pitago 2 AC2 CB 2 BA 2 AK2 KC 2 KC KB BA 2 Câu 4 VP = 2 2 2 22 2 2 0,5đ (6 đ) BA CB AC BA KC KB AK KC AK2 KC 2 KC 2 2KC.KB KB 2 BA 2 BA2 KC 2 KB 2 2KC.KB AK 2 KC 2 0,25đ 2 2 2 2 2KC 2KC.KB AK KB BA 2 BA2 AK 2 KB 2 2KC.KB 0,25đ 2KC2 2KC.KB 2KC(KC KB) KC = VT (đpcm) 0,5đ 2KB2 2KC.KB 2KB(KB KC) KB 3) AK AK AK2 Ta có tan B ; tan C tan B.tan C (1) BK CK BK.CK 0,25đ CK Mặt khác B KHC nên tan B tan KHC HK 0,25đ BK Tương tự tan C tan KHB HK 0,25đ BK.CK Suy ra tan B.tan C (2) HK2 0,25đ 2 2 AK2 1 0,25đ Từ (1) và (2) suy ra tan B.tanC 3 (gt :HK AK) HK 3 Vậy tanB.tanC 3 0,25đ 4) 0,25đ Ta chứng minh được ABC ADE (theoa))
5. 2 SABC AB Nên 0,25đ SADE AD 1 Mà BAC 600 nên ABD 300 ta suy ra AD AB 2 0,25đ S ABC 4 S 30cm2 Từ đó ADE 0,25đ SADE Giả sử số gạch đi là chữ số hàng đơn vị, ta có 0,25đ xc 31x với xN 10x c 31x  21x c. Do 0 c 9. VT 21,VP 9. Vô lí Giả sử số gạch đi là chữ số hàng chục, ta có 0,25đ xbc 31xc với 21x 3c b. Lập luận tương tự như trên, nếu x 1 VT VP.(không thỏa) suy ra Câu 5 x0 . Khi đó b 3c , bc 31 nên có các số 31, 62, 93. (1đ) Giả sử số bị gạch đi là chữ số hàng trăm, ta có xabc 31xbc  210x 3bc 10a 0,25đ Lập luận tương tự để chỉ ra x 0;10a 3.bc bc 10;a 3 a 3;6;9 Ta có các số 310; 620; 930. Tiếp tục quá trình trên, ta tìm được các số dạng: 31.10k ;62.10 k ;93.10 k (k 0;1;2;3 ) 0,25đ Ghi chú: - Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình là các câu độc lập, thí sinh làm câu nào tính điểm câu đó không cần theo thứ tự