Đề thi học sinh giỏi các môn văn hóa và môn khoa học cấp Quận môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Hai Bà Trưng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi các môn văn hóa và môn khoa học cấp Quận môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Hai Bà Trưng (Có đáp án)

1. UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN MÔN: TOÁN 9 Năm học: 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 27/10/2020 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (4 điểm) 1. Cho ba số thực , , thỏa mãn − = 7 và − = 3. Tính giá trị của biểu thức: 2 − 2 − 2 + 2 = . 2 + 2 + 2 − − − 3 3 2. Cho số = √2 + √5 + √2 − √5và đa thức ( ) = 5 + 7 3 − 6 . Tính giá trị của ( ). Bài 2 (4 điểm) 1. Giải phương trình: (2019 − )2 + (2019 − )( − 2020) + ( − 2020)2 13 = . (2019 − )2 − (2019 − )( − 2020) + ( − 2020)2 37 3 = 2( + ) 2. Giải hệ phương trình {4 = 3( + ). 5 = 6( + ) Bài 3 (4 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên 푛 sao cho 26 + 29 + 2푛 là số chính phương. 2. Cho , là hai số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 푃 = 2 ( + ) − 3 ( + ) − 5. 2 2 Bài 4 (6 điểm) Cho đường tròn tâm với đường kính cố định. Điểm di động trên đường tròn ( ) sao cho không trùng với các điểm và . Lấy là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại . Đường thẳng cắt đường tròn ( ) tại điểm thứ hai . Các đường thẳng và cắt nhau tại 퐹. 1. Chứng minh các điểm , , 퐹 thẳng hàng. 2. Chứng minh tích . không đổi. 3. Chứng minh là trọng tâm của tam giác 퐹 khi và chỉ khi 퐹 ngắn nhất. Bài 5 (2 điểm)Trên bảng viết 2019 số tự nhiên liên tiếp từ 2 đến 2020. Ta xóa hai số , và viết thêm trên bảng số − − + 2. Cứ tiếp tục như thế, thì sau 2018 lần thực hiện, trên bảng còn lại đúng một số. Hỏi số đó là số nào? Vì sao? HẾT Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên: Số báo danh: Trường THCS
2. UBND QUẬN HAI BÀ TRƯNG HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA VÀ MÔN KHOA HỌC CẤP QUẬN MÔN: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2020 - 2021 Ngày thi: 27/10/2020 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (HD gồm 04 trang) Bài Nội dung Điểm 1. Cách 1: − = 7 và − = 3 ⇒ − = 10. 0,5 ( 2 − 2 + 2) − ( 2 − 2 + 2) = 2. 1,0 ( 2 − 2 + 2) + ( 2 − 2 + 2) + ( 2 − 2 + 2) ( − )2 − ( − )2 72 − 32 40 = 2. = 2. = . 0,5 ( − )2 + ( − )2 + ( − )2 72 + 32 + 102 79 Cách 2: Thế = + 7 và = − 3 vào biểu thức , khai triển và rút gọn. 2.Cách 1: Áp dụng ( + )3 = 3 + 3 + 3 ( + ), ta có 3 0,5 3 = 2 + √5 + 2 − √5 + 3√(2 + √5)(2 − √5) . ⇒ 3 = 4 − 3 ⇒ 3 + 3 − 4 = 0 0,5 ⇒ ( − 1)( 2 + + 4) = 0 ⇒ = 1 0,5 ⇒ ( ) = 2. 3 3 3 3 Cách 2: Ta có 2 = √16 + 8√5 + √16 − 8√5 = √(1 + √5) + 0,5 3 3 √(1 − √5) = 2 ⇒ = 1 ⇒ ( ) = 2. 2 1. ĐKXĐ: ∈ ℝ. Đặt = 2019 − và = 2020 − . Phương trình trở thành 2 + + 2 13 2 2 = − + 37 1,0 ⇔ 37 2 + 37 + 37 2 = 13 2 − 13 + 13 2 ⇔ 24 2 + 50 + 24 2 = 0 ⇔ 2(4 + 3 )(2 + 4 ) = 0 4 + 3 = 0 ⇔ [ . 3 + 4 = 0 Trường hợp 1: Ta có 4 + 3 = 0 ⇔ 4(2019 − ) + 3( − 2020) = 0 ⇔ = 2016 1,0 Trường hợp 2: Ta có 3 + 4 = 0 ⇔ 3(2019 − ) + 4( − 2020) = 0 ⇔ = 2023
3. Vậy tập nghiệm của phương trình là푆 = {2016; 2023}. 2. Nếu một trong ba ẩn bằng 0, thì từ hệ phương trình ta suy ra hai 0,5 ẩn còn lại cũng bằng 0 ⇒ hệ có nghiệm (0; 0; 0). Xét , , ≠ 0. Hệ tương đương với + 3 1 1 3 = + = (1) 2 2 + 4 1 1 4 0,5 = ⇔ + = (2) 3 3 + 5 1 1 5 = + = (3) { 6 { 6 Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có 1 1 1 11 1 1 1 11 0,5 2 ( + + ) = ⇔ + + = (4) 3 6 Trừ phương trình (4) lần lượt cho (1), (2), (3) ta sẽ tìm được = 2; = 1; = 3. 0,5 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) và (2; 1; 3). 3 1.Giả sử 26 + 29 + 2푛 = 2 với ∈ ℕ∗. Ta có 64 + 512 + 2푛 = 0,5 2 ⇔ 2푛 = 2 − 576 ⇔ 2푛 = ( + 24)( − 24). + 24 = 2 Khi đó { với , ∈ ℕ và + = 푛. Dễ thấy > . − 24 = 2 0,5 Ta có 2 − 2 = 48 ⇔ 2 (2 − − 1) = 48. Do 2 − − 1 là số lẻ và 2 là lũy thừa của 2, nên chỉ có thể là: 2 = 16 = 4 { ⇔ { ⇒ 푛 = 10. 1,0 2 − − 1 = 3 = 6 Thử lại thấy 26 + 29 + 210 = 402 thỏa mãn đề bài. 2 2. Ta có 푆 = 2 ( + ) − 3 ( + ) − 9 0,5 2 = 2 ( + ) − 3 ( + ) − 2 − 7 = ( + − 2) (2 ( + ) + 1) − 7 0,5 ( 2 + 2 − 2 )(2 2 + 2 2 + ) = − 7 2 2 3 1 ( − )2 [ ( 2 + 2) + ( + )2] = 2 2 − 7 ≥ −7. 2 2 1,0 Vậy 푆 푖푛 = −7 ⇔ = .
4. 4 Gọi 푅 là bán kính của đường tròn ( ). F M 1,0 1. Do là đường kính của đường tròn ( ), nên ̂ = ̂ = 90표 ⇒ C B A O ⊥ 퐹 và ⊥ . Xét ∆ 퐹 có ⊥ 퐹 và ⊥ 퐹 ⇒ là trực E tâm ∆ 퐹 ⇒ 퐹 ⊥ Lại có ⊥ (cmt) ⇒ N 1,0 , , 퐹 thẳng hàng 2. Xét ∆ và ∆ có ̂ = ̂ = 90표 và ̂ = ̂ 1,0 (2 góc đối đỉnh) ⇒ ∆ ∽ ∆ (g.g) ⇒ = ⇒ . = . = 2푅2 không đổi. 1,0 3. Do = 2 , nên: là trọng tâm ∆ 퐹 ⇔ là trung điểm 0,5 của 퐹 (3). Ta có ̂ = 퐹 ̂ (cùng phụ ̂) và ̂ = 퐹̂ = 90표 ⇒ ∆ ∽ ∆ 퐹 (g.g)⇒ = 0,5 퐹 ⇒ . 퐹 = . = 3푅2. Áp dụng BĐT Cauchy ta có 퐹 = + 퐹 ≥ 2√ . 퐹 = 2푅√3. 0,5 퐹 ngắn nhất ⇔ = 퐹 ⇔ là trung điểm của 퐹 (4). Từ (3) và (4) suy ra là trọng tâm ∆ 퐹 ⇔ 퐹 ngắn nhất 0,5 (đpcm). 5 Ta trừ mỗi số trên bảng cho 1, sau đó nhân các kết quả lại với nhau. Tích thu được kí hiệu là . Nhận thấy sau mỗi lần xóa hai số , nào đó, rồi viết thêm số 1,0 − − + 2 = ( − 1)( − 1) + 1 trên bảng, thì tích luôn không đổi. Từ các số ban đầu ta có = (2 − 1)(3 − 1)(4 − 1) (2020 − 1) = 2019! 1,0 Vậy sau 2018 bước làm, trên bảng còn lại một số là 2019! + 1. Lưu ý khi chấm bài: - Trong quá trình chấm bài giám khảo có thể chia điểm nhỏ hơn ở các phần.
5. - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải đại diện, bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo có thể căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.