Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Yên Lập (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Yên Lập (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài:120 phút Câu 1. (1,5 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 2014 1) M = 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2015 9 11 6 2) Tìm x, biết: x 2 x 1 x 2 2 . Câu 2. (2,5 điểm) a b c b c a c a b 1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 2 x 2013 với x là số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz . Câu 4. (3,0 điểm) Cho xAy =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. Câu 5. (1,0 điểm) a b c Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng: 2 bc 1 ac 1 ab 1 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung Điểm 2 2 1 1 0,4 0,25 2014 1) Ta có: M 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2015 9 11 6 2 2 2 1 1 1 2014 5 9 11 3 4 5 : 0.25đ 7 7 7 7 7 7 2015 5 9 11 6 8 10 1 1 1 1 1 1 Câu 1 2 5 9 11 3 4 5 2014 : 0.25đ (1,5 điểm) 1 1 1 7 1 1 1 2015 7 5 9 11 2 3 4 5 2 2 2014 0.25đ : 0 7 7 2015 2 2 2 2) vì x x 1 0 nên (1) => xx 1 x 2 hay x 1 2 0.25đ +) Nếu x 1 thì (*) = > x -1 = 2 => x = 3 0.25đ +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 0.25đ 1) +Nếu a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = = 1 c a b a b c 0.25đ a b c b c a c a b mà 1 1 1 = 2 0.25đ c a b a b b c c a => =2 Câu 2 c a b 0.25đ b a c bacabc (2,5 điểm) Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b +Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = = 0 c a b a b c 0.25đ a b c b c a c a b mà 1 1 1 = 1 0.25đ c a b
3. a b b c c a => =1 0.25đ c a b b a c bacabc Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =1 a c b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c abcabcx 5 x 6 xx 7 x Ta có: ab; ; c (1) 0,25đ 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: abcabcx,,,,,, 4 x 5 xx 6 x ab,,,; ; c (2) 0,25đ 4 5 6 15 15 15 15 3 15 So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c x 2 3 => x = 1 Thay vào đầu bài ta có 1 y z yz => y – yz + 1 + z = 0 0,25đ => y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0 => (y-1) (z - 1) = 2 0,25đ TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3 TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2 0,25đ Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) V ẽ h ình , GT _ KL Câu 4 0,25đ (3,0 điểm)
4. 0,5đ a, ABC cân tại B do CAB ACB( MAC ) và BK là ðýờng cao BK là ðýờng trung tuyến 0,25đ K là trung ðiểm của AC . b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) 1 0,25đ BH = AK ( hai cạnh t. ý ) mà AK = AC 2 1 BH = AC 0,25đ 2 1 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK 2 MKC là tam giác cân ( 1 ) Mặt khác : MCB = 900 và ACB = 300 0,25đ MCK = 600 (2) Từ (1) và (2) MKC là tam giác ðều 0,25đ c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm 0,25đ Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: AK = AB2 BK 2 16 4 12 0,25đ 1 Mà KC = AC => KC = AK = 12 2 KCM đều => KC = KM = 12 0,25đ Theo phần b) AB = BC = 4 AH = BK = 2 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật) => AM = AH + HM = 6 0,25đ Vì 0 a b c 1 nên: Câu 5 1 1 c c (a 1)( b 1) 0 ab 1 a b (1) ab1 a b ab 1 a b 0,25đ (1 điểm) a a b b Tương tự: (2) ; (3) 0,25đ bc 1 b c ac 1 a c a b c abc Do đó: (4) bc 1 ac 1 ab 1 b c a c a b 0,25đ abc2 a 2 b 2 c 2( abc ) Mà 2 bcacababcabcabc abc 0,25đ (5) a b c Từ (4) và (5) suy ra: 2 (đpcm) bc 1 ac 1 ab 1 Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm. - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).