Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Kỳ Anh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Kỳ Anh (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN KỲ ANH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tìm x biết −−15 22xx 14 4 a) : = :13 23 7 11 5 1 1 11 b) x − ≤−− 2 2 42 Bài 2: 2xy−− 3 32 z a) Tìm x, y, z biết: 10xyz= 6 = 5 và = 23zx+ 4 b) Tìm các hệ số a, b biết rằng đa thức ax32+ bx −+33 x chia cho ( xx−+11)( ) được dư là 7. Bài 3: Ba anh An, Bình, Dũng cùng góp vốn để thành lập công ty với tổng số tiền góp là 1 1 1 294 triệu đồng. Biết rằng số tiền anh An góp bằng số tiền anh Bình góp; số tiền 9 8 10 1 anh Dũng góp bằng số tiền anh An góp. 12 a) Tính số tiền góp của mỗi người. b) Theo thỏa thuận, lợi nhuận được chia theo tỷ lệ góp vốn. Năm 2022 lợi nhuận thu về của công ty là 120 triệu đồng. Em hãy tính số tiền lợi nhuận mà mỗi người nhận được trong năm 2022. Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Lấy điểm E trên tia đối của tia CA sao cho CE=CA. Qua điểm B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DE tại F. a) Chứng minh rằng tam giác ABF cân. b) Tính số đo góc DAF? c) Tính tỷ số diện tích tam giác CDE và tam giác ADF? 2 ( x − 5) 7 − y2 Bài 5: Tìm số nguyên x, y thõa mãn: = 32 Hết Họ và tên: .; SBD:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 7 Bài Gợi ý đáp án Điểm −15 22x − 14 x 4 22 xx −− 14 15 69 a) : =:13 ⇒⋅ =⋅ 23 7 11 5 7 11 23 5 3 9 3 −3 ⇒−49 ⋅xx22 =− ⇒ = ⇒ x = hoặc x = Bài 1 4 2 2 4 đ 1111 11− 1 111 11 b) x−≤−−⇒−≤− x ⇒−≤−⇒−≤ xx 2242 22 4 224 24 1 −1 11 13 ⇒ ≤−≤x ⇒ ≤≤x 4 24 44 2xy−− 3 32 z a) = ⇒4xx( 2 −=+ 3 y) ( 2 z 332)( − z) 23zx+ 4 9 ⇒8x2 − 12 xy =−⇒ 9 4 z22 2 x − 3 xy += z 2 2 xyz 10xyz= 6 = 5 ⇒== 356 x2 xyz 222 x 3 xyz 22 23 x−+ xyz 2 9 1 ⇒=== = == =:9 = 2 9 15 36 18 45 36 18−+ 45 36 4 4 9 3 −3 ⇒=x2 ⇒ x = hoặc x = Bài 2 4 2 2 4 đ 35 TH1: x=⇒6 yz = 5 = 15 ⇒= y ; z = 3 22 −−35 TH2: x= ⇒6 yz = 5 =−⇒= 15 y ; z =− 3 22 b) Gọi q(x) là thương của phép chia đa thức ax32+ bx −+33 x cho ( xx−+11)( ) . Ta có: 32 ax+ bx −3 x += 3( x − 1) ( x + 1) q ( x ) + 7 2 Thay x =1 vào ta được: ab+=7 Thay x = −1 vào ta được: ba−=1 Suy ra: ab=3; = 4 a) Gọi số tiền ba anh An, Bình, Dũng góp lần lượt lá a (triệu đồng), b (triệu đồng), c (triệu đồng). Ta có: a bc a a b c abc++ 294 =;3 =⇒=== = = 2 9 8 10 12 36 32 30 98 98 ⇒=a108; bc = 96; = 90 Bài 3 b) Tỷ lệ góp vốn của anh An, Bình và Dũng lần lượt là: 4 đ 108 96 90 ≈ 36,7% ; ≈ 32,7% ≈ 30,6% 294 294 294 Số tiền lợi nhuận mà anh An, Bình và Dũng:người nhận được lần lượt là: 2 36,7%⋅= 120 44,04(triệu đồng); 32,7%⋅= 120 39,24(triệu đồng); 30,6%⋅= 120 36,72 (triệu đồng);
3. a) ∆ADB =∆ ADC() c −− g c ⇒ DB = DC Xét 2 tam giác ∆DCE và ∆DBF có : CDE = BDF (đối đỉnh) 2 DB= DC (Chứng minh trên) DCE = DBF (CE BF ) ∆DCE =∆⇒= DBF CE BF(1) +CE= CA( gt ) ⇒= CE BA (2) Từ (1) và (2) suy ra: BF= BA ⇒ tam giác ABF cân tại B Bài 4 b) CAB = ABF( AC BF )⇒∆ ABC =∆ BAF () c − g − c 6đ 2 ⇒=⇒ ABC BAF BC AF . Mà AD⊥⇒⊥⇒ BC AD AF DAF =900 (3) c) Ta có: SSCDE= ACD ( Hai tam giác có chung đường cao kẻ từ đỉnh D và có 2 cạnh đáy CE=CA) 1 + SS= ⋅ (4)( Hai tam giác có chung đường cao AD và có cạnh ACD2 ABC 1 đáy DC= ⋅ BC ) 2 2 (5) Chứng minh được SSSADF= ABF = ABC 11SCDE Từ (3), (4), (5) suy ra: SSCDE=⋅⇒ ADF = 22SADF 2 2 ( x − 5) 7 − y 22 = ⇒−=−⇒−+=2537( x) ( yx22) 25321( ) y 32 2 2 Vì: 3yx2 3; 21 3⇒− 2( 5)  3 ; mà (2,3) =⇒− 1( xx 5)  3 ⇒−( 5) 3 2 Bài 5 Đặt( x−=5) 3 kk ;( ∈ Z )ta có: 2( 3k) + 3 y2 =⇒ 21 6 ky 22 += 7 : 2 2đ k = 0 không thõa mãn. 2 22 Vậy k ≠ 0 , kZ∈ ⇒≤6 6k <⇒ 7 ky = 1; = 1 + kx=⇒−=⇒=1 53 x 8 + kx=−⇒−1 53 =−⇒ x = 2 Vây có 4 cặp số x,y gồm (2; 1); (2; -1); (8; 1); (8; -1) Lưu ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa.