Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT KRÔNG ANA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KHOÁ NGÀY 09/02/2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3 điểm) a. Cho A = 2013.2015.2017.2019 + 16. Hỏi A có là số chính phương không ? Nếu có thì đó là bình phương của số nào ? b. Chứng minh rằng: Tổng của tích bốn số tự nhiên lẻ liên tiếp và 16 luôn là một số chính phương. Bài 2: (4 điểm) x 2012 x 3 2000 x a. Giải phương trình : 3 3 2012 15 b. Chứng minh đẳng thức sau : a b 2015c 1 ( với abc = 2015 ) ab a 2015 bc b 1 ac 2015c 2015 x 1 x2 x 1 x3 1 Bài 3: (4 điểm) Cho biểu thức P = x : x : x ; với x 0 ; x -1 1 1 1 x x x a. Rút gọn biểu thức P b.Tìm số nguyên x để P có giá trị nguyên. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC BC). Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H sao cho AH bằng BC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và K đối xứng với H qua M. Kẻ tia Bx song song với AC và cắt tia CK ở điểm D. a. Chứng minh AH vuông góc với BC b. Tính số đo của góc BAC. c. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng. Bài 5: (3điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB, AC lần lượt 2 1 lấy hai điểm N , P sao cho AN = AB và AP = AC. Tính tỉ số diện tích của tam giác MNP 3 4 và tam giác ABC. Bài 6: (2 điểm) a. Chứng minh 9x10 10x9 1  x 1 2 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a5 b5 với a + b = 2. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2
2. PHÒNG GD&ĐT KRÔNG ANA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KHOÁ NGÀY 09/02/2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài số Nội dung Điểm Bài a Khẳng định A có là số chính phương 0,25 2 1 viết được A = 40642512 hoặc A = 20162 5 0,25 b Gọi 4 số tự nhiên lẻ liên tiếp là: a+1; a+3; a+5; a+7 (với a =2k ; k là số nguyên không âm) 0,25 Ta có: (a +1)(a +3)(a +5)(a +7) + 16 2 2 a 1 a 7 a 3 a 5 16 a 8a 7 a 8a 15 16 3 0,75 Đặt t a 2 8a 7 Ta có t t 8 16 t 2 8t 16 t 4 2 (*) 0,5 2 2 2 2 2 Thay t a 8a 7 vào (*) ta được a 8a 7 4 a 8a 11 0,75 Vậy (a +1)(a +3)(a +5)(a +7) + 16 là số chính phương. 0,25 Bài 2 x 2012 x 3 2000 x 3 a 3 2012 15 x 2012 x 3 x 2000 0,5 3 3 2012 15 Thêm -3 vào hai vế , biến đổi phương trình về dạng tích 1 1 1 0,75 (x - 2015) = 0 3 2012 15 1 1 1 0,5 (x - 2015) = 0 vì 0 3 2012 15 0,25 x= 2015. Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2015 Quy về các phân thức cùng mẫu (ab+a+abc) hoặc (bc+b+abc) hoặc 4 b Biến đổi vế trái bằng cách nhân tử và mẫu phân thức thứ hai với a, chia tử và mẫu của phân thức thứ ba cho c, ta được : a b 2015c ab a 2015 bc b 1 ac 2015c 2015 a ab 2015 0,5 = 2015 ab a 2015 abc ab a a 2015 c 0,5 a ab abc = ( vì abc = 2015) abc ab a abc abc ab a a abc c a ab abc 0,5 = ab a abc abc ab a a abc ab 0,5
3. a ab abc = = 1 =VP(đpcm) ab a abc Bài 3 a x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x x2 x 1 x x3 1 x 1 x : x : x = : : 1 1 1 x x x x x x x 1 1 1 2 . 3 2 với x 0 và x -1 1 4 x x 1 x 1 x2 x 1 b Vì x nguyên nên x2 x 1 là số nguyên ( x2 x 1)2 là số nguyên. 0,25 1 Do đó , để có giá trị nguyên thì ( x2 x 1)2 = 1 2 2 x x 1 0,5 x2 x 1 = 1 2 2 x(x 1) 0 x x 1 1 x x 0 0,75 2 2 2 1 7 x x 1 1 x x 2 0 x 0(ptvn) 2 4 x = 0 hoặc x = 1 Đối chiếu điều kiện, và kết luận x = 1 0,25 Bài 4 (Vẽ hình không chấm điểm) A a ABC có BE AC tại E, CF AB tại F(gt) BE cắt CF tại H(gt) H là trực tâm của ABC 1 AH là đường cao thứ ba . Vậy AH BC E F H B M C K D x B AHE và BCE có : A· EH B· EC 900 (gt) AH = BC (gt) và H· AE C· BE ( cùng phụ với góc ACB) 4 1,0 AHE = BCE(cạnh huyền+góc nhọn) AE = BE AEB cân tại E. mà A· EB 900 AEB vuông cân tại E . Vậy B· AC = 450 0,5 c Chứng minh được tứ giác BHCK là hình bình hành ( theo t/c đường 0,5 chéo) Chứng minh được tứ giác BHCK là hình chữ nhật ( có 3 góc vuông ) 0,5 BC và DE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường , mà M là trung điểm của BC suy ra M cũng là trung điểm của DE. 0,5 Vậy ba điểm D, M, E thẳng hàng. Bài 5 Áp dụng bổ đề : A Hai tam giác có chung đường cao hoặc chung cạnh P đáy thì N B M C
4. tỉ số diện tích bằng tỉ số hai cạch đáy ( hoặc tỉ số hai đường cao) 1 BMN và BMA có chung đường cao kẻ từ M ; BN = AB nên : 3 1 1 1 3 S S . Tương tự : S S S S (1) 0,75 BMN 3 BMA BMA 2 ABC BMN 6 ABC 3 1 3 S S và S S S S (2) 0,75 CMP 4 CMA CMA 2 ABC CMP 8 ABC 1 2 1 S S và S S S S (3) ANP 4 ANC ANC 3 ABC ANP 6 ABC Từ (1) ; (2) ; (3) cộng vế theo vế : 0,75 1 3 1 17 S S S = S + S + S = S BMN CMP ANP 6 ABC 8 ABC 6 ABC 24 ABC 17 7 0,25 Do đó SMNP SABC SABC SABC 24 24 0,25 S 7 Vậy MNP SABC 24 0,25 Bài 6 a Ta có : 9x10 10x9 1 =9x10 9 10x9 10 = 9 x10 1 10 x9 1 0,25 =9 x 1 x9 x8 x7 x 1 10 x 1 x8 x7 x6 x 1 = x 1 9x9 x8 x7 x 1 0,25 Đặt Q(x) = 9x9 x8 x7 x 1 0,25 Ta có Q(1) = 9.19 18 17 1 1 0 nên đa thức Q(x) chia hết cho x – 1 . Vậy (9x10 10x9 1)  x 1 2 0,25 2 b Đặt a = 1 + m b = 2 - ( 1 + m) = 1 – m Khi đó a5 b5 = 1 m 5 1 m 5 0,25 2 3 4 5 2 3 4 5 1 5m 10m 10m 5m m 1 5m 10m 10m 5m m 0,25 2 4 = 2 + 20m + 10m 0,25 Vì 20m2 + 10m4 0 với m 2 + 20m2 + 10m4 2 Dấu « = » xảy ra khi m = 0 a= b = 1 , Vậy giá trị nhỏ nhất của 0,25 a5 b5 là 2 khi a = b = 1 (Neáu hs giaûi caùch khaùc maø ñuùng vaø phuø hôïp vôùi chöông trình học vaãn cho ñieåm tối đa của phần đó)