Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Củ Chi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Củ Chi (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 x 6 b) x 3 x 2 14x 24 3x 3 14x 2 3x 36 Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A = 3x3 19x 2 33x 9 a) Tìm giá trị của x để biểu thức A xác định. b) Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng 0. c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình: a) (x 2 x) 2 4(x 2 x) 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 c) 6x 4 5x 3 38x 2 5x 6 0 (phương trình có hệ số đối xứng bậc 4) Câu 4 (4 điểm): a) Tìm GTNN: x 2 5y 2 2xy 4x 8y 2015 3(x 1) b) Tìm GTLN: x 3 x 2 x 1 Câu 5 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. ___*HẾT*___
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN HUYỆN CỦ CHI Ngày 04 tháng 04 năm 2016 Môn thi: TOÁN Câu 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử a) x 2 x 6 (1 điểm) = x 2 2x 3x 6 = x(x 2) 3(x 2) = (x 3)(x 2) b) x 3 x 2 14x 24 (1 điểm) = x 3 2x 2 x 2 2x 12x 24 = x 2 (x 2) x(x 2) 12x(x 2) = (x 2)(x 2 x 12) = (x 2)(x 2 4x 3x 12) = (x 2)(x 4)(x 3) 3x 3 14x 2 3x 36 Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức A = 3x3 19x 2 33x 9 a) ĐKXĐ: 3x 3 19x 2 33x 9 0 (1 điểm) 1  x và x 3 3 3x 3 14x 2 3x 36 b) (1 điểm) 3x3 19x 2 33x 9 (x 3) 2 (3x 4) = (3x 1)(x 3) 2 3x 4 = 3x 1 A = 0  3x + 4 = 0 4  x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) 3 4 Vậy với x = thì A = 0. 3 3x 4 3x 1 5 5 c) A = = = 1 + (1 điểm) 3x 1 3x 1 3x 1 5 Vì x Z  A Z  Z  3x – 1 Ư(5) 3x 1 mà Ư(5) = {-5;-1;1;5} 3x – 1 -5 -1 1 5 x -4/3 (loại) 0 (nhận) 2/3 (loại) 2 (nhận)
3. Vậy tại x {0;2} thì A Z. Câu 3 (5 điểm): Giải phương trình: a) (x 2 x) 2 4(x 2 x) 12 (1 điểm) Giải phương trình ta được tập nghiệm S = {-2;1} x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) (2 điểm) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6  1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009  2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009  0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1  (x 2009)( ) 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1  x 2009 0 vì ( 0) 2008 2007 2006 2005 2004 2003  x = -2009 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2009} c) 6x 4 5x 3 38x 2 5x 6 0 (2 điểm)  Chia cả 2 vế cho x 2 , ta được: 5 6 6x 2 5x 38 0 x x 2 1 1  6(x 2 ) 5(x ) 38 0 (*) x 2 x 1 1  Đặt x = y => x2 = y 2 x x2 Thay vào phương trình (*) rồi giải phương trình, ta được 1 1 Tập nghiệm của phương trình là: {-2; ;0; } 2 3 Câu 4 (4 điểm): a) Tìm GTNN: P= x 2 5y 2 2xy 4x 8y 2015 3(x 1) b) Tìm GTLN: Q= x 3 x 2 x 1 a) P = x 2 5y 2 2xy 4x 8y 2015 (2 điểm) P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 3 1 => Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi x ; y 2 2 3(x 1) b) Q = (2 điểm) x 3 x 2 x 1
4. = 3(x 1) x 2 (x 1) (x 1) = 3(x 1) (x 2 1)(x 1) = 3 x 2 1 Q đạt GTLN  x2 1 đạt GTNN Mà x2 1 1 => x2 1 đạt GTNN là 1 khi x = 0. => GTLN của C là 3 khi x = 0. Câu 5 (6 điểm): Vẽ hình đúng (0,5điểm) A C’ B’ x H N M I A’ C B D 1 .HA'.BC S HA' HBC 2 a) S 1 AA' ; (0,5điểm) ABC .AA'.BC 2 SHAB HC' S HB' Tương tự: ; HAC (0,5điểm) SABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC 1 (0,5điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI.AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm) - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm)
5. AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA)2 4 (0,5điểm) AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều)