Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Nga Sơn (Có đáp án)

1. Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o ®Ò thi häc sinh giái líp 6,7,8 thcs cÊp huyÖn HuyÖn nga s¬n NĂM HỌC: 2016 - 2017 §Ò chÝnh thøc M«n thi: To¸n 8 Thêi gian lµm bµi: 150 phót (§Ò thi gåm cã 01 trang) Ngµy thi: 04/04/2017 Câu 1: (4 điểm). 2 a 1 1 2a2 4 a 1 a 3 4 a Cho biểu thức M = : 2a 3 1 a 1 4 a 2 3a a 1 a) Rút gọn M. b) Tìm a để M > 0. c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất. Câu 2: ( 5 điểm). 1) Giải các phương trình: x 2 x 4 x 6 x 8 a) . 98 96 94 92 b) x6 - 7x3 - 8 = 0. 2) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 1 x x 2 2(x m) 2 . x m x m m2 x 2 3) Tìm a, b sao cho f x ax3 bx 2 10x 4chia hết cho đa thức g x x2 x 2 . Câu 3: ( 4 điểm). 1) Cho: x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1. Tính A = x2015 + y2015 + z2015 2) Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, nhưng sau khi đi được 1 giờ người ấy nghỉ hết 15 phút, do đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến B đúng giờ đã định. Tính quãng đường AB? Câu 4: (5 điểm). Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Câu 5: (2 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 23313233321abc abcabc P= . 2015 a 2016 b 2017 c Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TẠO NGA SƠN Năm học 2016 - 2017 Môn: Toán Câu Nội dung Điểm a (2đ) Điều kiện: a 0; a 1 0,5 2 2 3 a 1 1 2a 4 a 1 a 4 a Ta có: M = : 2 a3 1 a 1 4 a 2 3a a 1 2 a 1 1 2a2 4 a 1 4 a 2 0,5 = . 2 2 2 a a1 a 1 a a 1 a 1 a a 4 3 a 1 1 2 a2 4 a a 2 a 1 4a = . a 1 a2 a 1 a2 4 0,5 3 2 2 2 a 3 a 3 a 1 1 2 a 4 a a a 1 4 a = . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 1 4 a 4a = . = 0,5 a3 1 a 2 4 a2 4 1 4a 0,5 4.0đ Vậy M = 2 với a 0; a 1 a 4 b) (1đ) 0,5 M > 0 khi 4a > 0suy ra a > 0 kết hợp với ĐKXĐ 0,5 Vậy M > 0 khi a > 0 và a 1 c) (1đ) 2 2 2 4a a 4 a 4 a 4 a 2 0,5 Ta có M = = 1 a2 4 a2 4 a 2 4 a 2 2 a 2 2 Vì 0 với mọi a nên 1 1với mọi a a2 4 a2 4 2 a 2 Dấu “=” xảy ra khi 2 0 a 2 0,5 a 4 Vậy MaxM = 1 khi a = 2. a) (1đ) x 2 x 4 x 6 x 8 Ta có 98 96 94 92 2 x 2 x 4 x 6 x 8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 5,0đ 98 96 94 92 1 1 1 1 0,5 ( x + 100 )( + - - ) = 0 98 96 94 92 2
3. 1 1 1 1 Vì : + - - 0 98 96 94 92 Do đó: x + 100 = 0 x = -100 0,5 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 b) (1đ) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0 (x3 + 1)(x3 – 8) = 0 (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*) 0,5 Do x2 – x + 1 = (x – 1 )2 + 3 > 0 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với 2 4 0,5 mọi x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = 0 x {- 1; 2} 2) (2đ) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm. 1 xx 2 2( xm ) 2 0,5 (1) xmxm m2 x 2 ĐKXĐ: x+ m 0 và x- m 0 x m (1xxmx )( )( 2)( xm )22( xm ) (2m 1) xm 2(*) 1 3 0,5 + Nếu 2m -1= 0 m ta có (*) 0x = (vô nghiệm) 2 2 1 m 2 + Nếu m ta có (*) x 2 2m 1 0,25đ - Xét x = m m 2 mm2 2 mm2 2m 1 2 2 2 1 3 2mm 2 2 0 mm 1 0 m 0 0,25đ 2 4 (Không xảy ra vì vế trái luôn dương) Xét x= - m m 2 mm2 2 mmm2 2 1 m 1 2m 1 0,5đ 1 Vậy phương trình vô nghiệm khi m hoặc m = 1 2 3)(1đ) Ta có : g x x2 x 2= x 1 x 2 0.25đ 3 2 2 Vì f x ax bx 10x 4 chia hết cho đa thức g x x x 2 0.25đ Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x) ax3 bx 2 10x 4= x+2 . x-1 .q x 0.25đ Với x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1 Với x=-2 2a-b+6=0 2 3
4. Thay (1) vào (2) . Ta có : a=-4 và b=-2 0.25đ 1)(2đ) 0,25 Từ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1 Mà: x3 + y3 + z3 = 1 0,25 (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 0 xyz 3 z3 xy 3 3 0 xyzz xyz 2 xyzzz 2 xyx2 xyy 2 0,25 xyxyz2 2 22x y 2 yz 2xz+xz yzzzxxyy 2 2 2 2 0 xy 3z2 3x yyz 3 3xz 0 0.25đ xy3 yzxz 0 xy 0 xy 0,5 yz 0 yz xz 0 xz * Nếu xyz 1 Ax2015 y 2015 z 2015 1 * Nếu yzx 1 Ax2015 y 2015 z 2015 1 2015 2015 2015 0,5 * Nếu xzy 1 Ax y z 1 2) (2điểm). 3 Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB. ĐK x > 0. (4,0đ) x Thời gian dự định đi hết quãng đường: (giờ) 30 Quãng đường đi được sau 1 giờ: 30 (km) Quãng đường còn lại : (x-30) (km) x 30 Thời gian đi quãng đường còn lại : (giờ) 40 x1 x 30 Lập được phương trình : 1 30 4 40 4x 30.5 3( x 30) x 60(thỏa mã đk) Vậy quãng đường AB là 60km 4
5. A E B 1 1 2 O 3 M H' H 1 D C N a) (2đ) Xét ∆OEB và ∆OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 0,5 Và B C 450 1 1 BE = CM ( gt ) 0,5 Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) OE = OM và O1 O 3 0,5 4(5đ) O O BOC 900 Lại có 2  3 vì tứ giác ABCD là hình vuông 0,5 0 O O EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 2 1 b)(1.5đ) Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD 0,5 0,5 AM BM + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét) 0.5 MN EB c)(1.5đ) Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN OME MH ' B Mà OME 450 vì ∆OEM vuông cân tại O 0,25 0 MHB ' 45 C1 ∆OMC  ∆BMH’ (g.g) OM MC , kết hợp OMB CMH ' ( hai góc đối đỉnh) BM MH , 0 0,5 ∆OMB  ∆CMH’ (c.g.c) OBM MH ' C 45 5
6. 0,5 Vậy BHC ' BHM ' MHC ' 900 CH'  BN 0,25 Mà CH  BN ( H BN) H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Ta có 23313233321abc abcabc P= 2015 a 2016 b 2017 c b c4033 c a 4032 a b 4031 1 = 2015 a 2016 b 2017 c Đặt 2015 + a = x; 5 2016 + b = y; 0,5 (2,0đ) 2017 + c = z ; (x,y,z > 0) b c4033 c a 4032 a b 4031 P = 2015 a 2016 b 2017 c yzzxxyyxxzyz P 0,5 x y z xyzxzy yx zx yz 2.2.2. 6(Co si ) xy xz zy Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671 0,5 Vậy giá tị nhỏ nhất của biểu thức p là 6 khi a = 673, b = 672, c = 671 Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 6