Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Sơn Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Sơn Hà (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN SƠN HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian ĐỀ CHÍNH THỨC phát đề) A. MA TRẬN ĐỀ Vận dụng Cấp độ Nhận Thông Cộng Chủ đề biết hiểu Cấp độ Cấp độ thấp cao - Vận dụng được các tính chất chia hết để chứng minh một tổng chia hết cho một 1. Số học. số. - Áp dụng tính chất lũy thừa để chứng minh giá trị của biểu thức nhỏ hơn 1. Số câu 2(C1ab) 2 Số điểm-Tỉ lệ % 4,0 4,0đ –20% Vận dụng được Vận dụng được hằng đẳng thức hằng đẳng thức để chứng minh để chứng minh một đẳng thức, so một biểu thức. 2. Đại số sánh hai số, phân tích đa thức thành nhân tử và tìm cực trị của tam thức bậc hai. Số câu 4(C2ab, C3ab) 1(C6) 5 Số điểm-Tỉ lệ % 8,0 1,0 9,0đ –45% - Hiểu -Vận dụng được các được tính chât dấu hiệu quan hệ giữa 3. Hình học nhận biết ba cạnh của về tứ giác một tam giác để chứng để chứng minh. 1
2. minh một - Vận dụng tứ giác là đường kẻ phụ hình chữ để chứng minh nhật, một một đẳng thức tứ giác là hình thoi. Số câu 2(C5ab) 2(C4,C5c) 4 Số điểm-Tỉ lệ % 3,0 4,0 7,0đ - 35% 2 6 3 11 Tổng số câu 3,0 12,0 5,0 20,0 Tổng số điểm 15% 60% 25% 100% Tỉ lệ % 2
3. UBND HUYỆN SƠN HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian ĐỀ CHÍNH THỨC phát đề) ĐỀ Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40. 1 1 1 1 b) B = 1. 22 3 2 4 2 100 2 Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232. Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1. Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật. b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi. 1 c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC 3 Câu 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 d 2 e 2 a() b c d e “HẾT” 3
4. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu 1: (4,0 điểm ) Chứng minh rằng: a) A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40. 1 1 1 1 b) B = 1. 22 3 2 4 2 100 2 CÂU 1 ĐÁP ÁN ĐIỂM a A = 1 + 3 + 32 + 33 + + 311 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + (34 + 35 +36 + 37)+ (38 + 39+ 310 + 311) 0,5 = ( 1 + 3 + 32+ 33) + 34. (1 + 3 + 32+ 33) + 38(1 + 3 + 32+ 33) 0,5 = 40 + 34. 40 + 38. 40 0,5 = 40. (1 + 34 + 38) 40 0,5 Vậy A 40 1 1 1 1 b B 22 3 2 4 2 100 2 1 1 1 1 0,5 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 1.2 2.3 3.4 99.100 2 2 3 99 100 1 1 1 0,5 100 Vậy B < 1 0,5 Câu 2: (4,0 điểm ) a) Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc b) So sánh hai số sau: C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và D = 232 CÂU 2 ĐÁP ÁN ĐIỂM a Ta có: a + b + c = 0 suy ra a + b = - c 0,5 Mặt khác: ( a + b )3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 0,5 Suy ra (- c)3 = a3 + b3 + 3ab(-c) 0,5 a3 + b3 + c3 = 3abc(đpcm) 0,5 b C = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) (2-1)C = (2-1) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 C = (24-1)(24+1)(28+1)(216+1) 0,25 4
5. C = (28-1) (28+1)(216+1) 0,25 C = (216-1)(216+1) 0,25 C = 232-1 0,25 Vì 232 - 1 < 232 nên C < D. 0,5 Câu 3: (4,0 điểm ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2019x2 + 2018x + 2019. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 – 8x + 1. CÂU 3 ĐÁP ÁN ĐIỂM a x4 + 2019x2 + 2018x + 2019 = x4 + (x2 + 2018x2 )+ 2018x +( 2018 + 1) + x3 – x3 0,5 = (x4 + x3 + x2 )+ (2018x2 + 2018x +2018) – (x3 - 1) 0,5 = x2(x2 + x + 1) + 2018(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 0,5 = (x2 + x + 1)(x2 + 2018 – x + 1) 0,25 = (x2 + x + 1)(x2– x + 2019) 0,25 b E = 2x2 – 8x + 1 = 2x2 – 8x + 8 - 7 0,5 = 2(x2 – 4x + 4) – 7 0,5 2 = 2(x – 2) – 7 - 7 0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của E = - 7 khi x = 2 0,5 Câu 4: (3,0 điểm) Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. ĐÁP ÁN ĐIỂM 5
6. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD. Đặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Xét AOB, ta có: OA + OB > AB (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác). 0,25 Xét COD, ta có: OC + OD > CD (Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác). 0,25 Suy ra: OA + OB + OC + OD > AB + CD AC + BD > AB + CD 0,25 AC + BD > a + c (1) Chứng minh tương tự: 0,25 AC + BD > AD + BC AC + BD > d + b (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) > a + c + d + b 0,25 a c d b 0,25 AC + BD > (*) 2 Xét ABC, ta có: AC < a + b Xét ADC, ta có: AC < d + c 0,25 Suy ra: 2AC < a +b + c + d a c d b AC < (3) 0,25 2 a c d b Chứng minh tương tự: BD < ( ) (4) 0,25 2 Từ (3) và (4) suy ra: AC + BD < a +b + c +d. 0,25 a c d b Từ (*) và ( ) suy ra < AC + BD a + b + c + d 0,25 2 (đpcm) Câu 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IM vuông góc với AB tại M và IN vuông góc với AC tại N. a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật. b) Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh tứ giác ADCI là hình thoi. 6
7. 1 c) Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh rằng DK DC. 3 CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM a Xét tứ giác AMIN có: MAN = 900 (vì tam giác ABC vuông ở A) 0,25 AMI = 900 (vì IM vuông góc với AB) 0,25 ANI = 900 (vì IN vuông góc với AC) 0,25 Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật (Vì có 3 góc vuông) 0,25 b 1 0,5 ABC vuông tại A, có AI là trung tuyến nên AI IC BC 2 Do đó AIC cân tại I, có đường cao IN đồng thời là trung tuyến 0.5 NA NC 0,5 Mặt khác: NI = ND (tính chất đối xứng) nên ADCI là hình bình hành (1) Mà AC ID (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ADCI là hình thoi. c Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD tại H 0,25 IH là đường trung bình BKC H là trung điểm của CK hay KH = HC (3) 0,25 Xét DIH có N là trung điểm của DI, NK // IH (IH // BK) Do đó K là trung điểm của DH hay DK = KH (4) 0,25 1 0,25 Từ (3) và (4) suy ra DK = KH = HC DK DC 3 Câu 6:(1,0 điểm) 7
8. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 d 2 e 2 a() b c d e ĐÁP ÁN ĐIỂM Ta có : 2 1122 a b 0 a b ab (1) 24 2 1122 a c 0 a c ac (2) 0,25 24 2 1122 a d 0 a d ad (3) 24 2 1122 a e 0 a e ae (4) 24 0,25 Ta cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được : 1 4. a2 b 2 c 2 d 2 e 2 ab ac ad ae 4 0,25 a2 b 2 c 2 d 2 e 2 a() b c d e 0,25 Lưu ý : - Mọi cách giải khác của học sinh có kết quả đúng đều ghi điểm tối đa. - Riêng câu 4 và câu 5 nếu học sinh không vẽ hình mà làm đúng thì cho ½ tổng số điểm của câu đó. (Đề thi gồm có 08 trang) 8