Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

1. PHÒNG GDĐT KRÔNG ANA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KHÓA NGÀY 09/01/2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 y2 2xy 9 ; b) x5 x 1 Câu 2 (5 điểm) 1) Giải phương trình : x 1 x 1 x 5 x 5 a) ; b) 6x4 5x3 38x2 5x 6 0 2020 2018 2024 2014 5x2 7x 1 1 2) Tính giá trị biểu thức D với x . 3x 1 2 Câu 3 (4 điểm) 1 1 1 1 1 1) Chứng minh rằng với n N,n 1, ta có A 1 n n 1 n 2 n 3 n2 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B x2 5y2 2xy 4x 8y 2025 . 3) Chứng minh rằng: Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không là một số chính phương. Câu 4 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = a, CD = b, BC = c, AD = d. Các tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại E. Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại F. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. a) Chứng minh tam giác AED vuông. b) Chứng minh rằng các điểm M, E, F, N thẳng hàng. c) Tính MN, MF, FN theo a, b, c, d. d) Chứng minh rằng nếu E trùng với F thì a +b = c +d. Câu 5 (3 điểm)   Tam giác ABC có A 200 ,B 800 . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Tính số đo góc BMC. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2
2. KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KHÓA NGÀY: 09/01/2020 Môn: Toán 8 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Ý Câu trong Nội dung Điểm câu a x2 y2 2xy 9 x y 2 32 x y 3 x y 3 1,5 b 1 x5 x 1 = x5 x2 (x2 x 1) x3 x2 x2 x 1 (x2 x 1) 1,5 = x2 x 1 x3 x2 1 1 a) x 1 x 1 x 5 x 5 2020 2018 2024 2014 x 1 x 1 x 5 x 5 1,0 1 1 1 1 2020 2018 2024 2014 x 2019 b) 6x4 5x3 38x2 5x 6 0 (với x khác 0). 2 1 1 1 6 x 2 5 x 38 0 ; Đặt t x 0 1,0 2 x x x 1 1  Giải được x 2; ; ;3 2 3  2 5x2 7x 1 1 D với x . 3x 1 2 1 23 * TH1: Với x tính được D 3,0 2 10 1 5 *TH2: Với x tính được D 2 2 1 1 1 1 1 Ta xét tổng có (n2 – n) hạng tử. n 1 n 2 n 3 n2 1 1 1 1 Vì n >1 nên: ; ; n 1 n2 n 2 n2 1,5 1 1 1 1 1 1 n2 n . 1 n 1 n 2 n 3 n2 n2 n 3 Vậy A > 1 (đpcm) 2 B x2 5y2 2xy 4x 8y 2025 x y 2 2 2y 1 2 2020 3 1 1,5 B 2020 . Vậy B 2020 . Dấu “=” xảy ra khi x ; y Min 2 2 3 Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n-2;n-1; n; n+1; n+2 n N,n 2 1,0 Ta có A n 2 2 n 1 2 n2 n 1 2 n 2 2 5 n2 2
3. Vì số chính phương n2 không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8. Nên n2 2 không có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.( n2 2 không chia hết cho 5) Vậy A không là số chính phương a - HS vẽ hình, viết GT, KL. Vì AE, DE là phân giác của goác A và D; Mà Aµ Dµ 1800 1,5 µA µD Nên 900 hay A· ED 900 . Suy ra tam giác AED vuông tại E. 2 2 b Chứng minh được MN là đường trung bình của hình thang ABCD.(*) Chứng minh được ME và NF cùng song song với CD ( ) (AE, BF 4 giao với CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tam giác ADK và tam 1,5 giác BCH cân) Từ (*) và ( ) ta được M, E, F, N thẳng hàng c a b c a b c Tính được MN ;FN ; MF 1,0 2 2 2 d c d a b Khi E trùng với F thì MN = ME +EN hay 2 2 1,0 c d a b Vẽ đường trung trục của AB cắt AC tại I. Tam giác IAB cân tại I I·BA I·AB 200 Trên BI lấy O sao cho BC = BO . Suy ra tam giác OBC đều. Chứng minh được tứ giác ABOM là hình thang cân 5 0 3,0 I·MO I·CO(I·OM I·AB 20 )(*)Nên OM = OB (= OC = BC) Suy ra được tam giác OBM cân tại O. Mà I·OM O· MB O· BM 2O· MB 200 . Nên O· MB 100 ( ) Từ (*) và ( ) ta có B· MC B· MO O· MC 300 Lưu ý: - HS không vẽ hình (vẽ hình sai) không chấm phần bài làm chứa nội dung hình vẽ. - HS làm cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa.