Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN KRÔNG ANA NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 30/01/2021 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). a3 1 a3 1 1. Rút gọn biểu thức. P a 2 a a 2 a 2. Tìm các số nguyên x,y sao cho: x2 xy 3x y 2 0 Câu 2 (5,0 điểm). 1. Tính giá trị biểu thức: B = 2,9296.5,0704 + (0,7324)4 + (1,2676)4 - (0,7324)3 (1,2676)2 - (0,7324)2 (1,2676)3 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f (x) 6x4 5x3 10x2 5x 4 Câu 3 (5,0 điểm). 1. Cho x là số nguyên dương. Tìm A, B, C để: 1 A B C x(x 1)(x 2) x x 1 x 2 1 1 1 2. Cho: S , với n là số nguyên dương. n 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) Tính: 2 S 2 0 2 0 Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC đường cao AH, AM là trung tuyến của tam giác AHC, BN là trung tuyến của tam giác BHA. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì nếu AM vuông góc với BN. Câu 5 (3,0 điểm). Có tồn tại hay không một đa giác có tổng số đường chéo bằng 20, vì sao? HẾT • Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu. • Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. 2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN KRÔNG ANA NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: TOÁN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Nội dung Điểm 1. (3,0 điểm) P có nghĩa khi: a2 a 0 a(a 1) 0 a 0 2 a a 0 a(a 1) 0 a 1 Vậy P có nghĩa khi: a 0 và a 1. 0,5 (a 1)(a 2 a 1) (a 1)(a 2 a 1) Với điều kiện trên ta có: P a(a 1) a(a 1) a 2 a 1 a 2 a 1 2 . Vậy P 2 a a 2,5 2.(2,0 điểm) Dễ thấy x 1, không là nghiệm của phương trình. 2 4 Từ đó tacó: x xy 3x y 2 0 y x 2 0,5 x 1 I 4 5 Khi đó để x, y nguyên thì phải là số nguyên, hay (x 1) 4 ( x 1là x 1 0,5 x 1 4 x 3, y 4 x 1 4 x 5, y 2 x 1 2 x 1, y 1 ước của 4). Từ đó ta có: x 1 2 x 3, y 1 x 1 1 x 0, y 2 x 1 1 x 2, y 4 Vậy có 6 cặp số nguyên thỏa mãn là: 1,0 (3, 4); ( 5, 2); (1,1); ( 3,1); (0, 2); ( 2, 4) 1. (3,0 điểm) Đặt a = 0,7324; b = 1,2676 . Ta có a + b = 2 0,5 và 4a = 2,9296; 4b = 5,0704 II Khi đó: B = 16ab + a4 + b4 - a3b2 - a2b3 = 16ab + a4 + b4 - a2b2 (a + b) = = 16ab + a4 + b4 - 2a2b2 = 16ab + (a2 - b2 )2 =
3. 3 2 2 é 2 ù = 16ab + (a - b) (a + b) = 4ëê4ab + (a - b) ûú = 4(a + b)2 = 16 Vậy B = 16. 2,5 5 2. (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử (Bài này có rất nhiều cách phân tích): Ta có: f (x) 6x 4 5x3 10x 2 5x 4 6x4 5x3 4x2 (6x2 5x 4) x2 (6x2 5x 4) (6x2 5x 4) (x2 1)(6x2 5x 4) (x 1)(x 1)(6x2 8x 3x 4) (x 1)(x 1)2x(3x 4) (3x 4) (x 1)(x 1)(2x 1)(3x 4) 2,0 1.(3,0 điểm) Cho x là số nguyên dương. Tìm A, B, C để: 1 A B C x( x 1)( x 2) x x 1 x 2 1 1 - Bằng nhiều cách, ta giải được: A ; B 1; C 2 2 - Sau đây một cách giải đơn giản. Ta sử dụng hằng đẳng (dễ dàng 1 1 1 1 chứng minh đươc): 0,5 (x a)(x b) b a x a x b Khi đó: 1 1 1 1 1 1 x(x 1)(x 2) x x 1 x 2 x(x 2) (x 1)(x 2) III 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x x 2 x 1 x 2 2x x 1 2(x 2) 1 1 Từ đó suy ra: A ; B 1; C 2 2 2,5 2.(2,0 điểm) Theo câu 1. ta có: 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , x(x 1)(x 2) x x 1 x 2 x x 1 x 1 x 2 0,5 n 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 nên ta có: 2Sn ( ) ( ) (1 ) ( ) . k 1 k k 1 k 1 k 1 k 2 n 1 2 n 2 2 n 1 n 2 1 1 1 1,5 Từ đó suy ra: 2S 2020 2 2021 2022
4. 4 (2,0 điểm) Hình vẽ: A N 0,25 IV 2 B H M C + Ta có M trung điểm HC, N trung điểm AH nên MN là đường trung bình cùa AHC , suy ra MN / / AC . Để BN  AM thì N là trưc tâm ABM Khi đó MN là đường cao của ABM , hay MN  AB . Từ đó suy ra CA  AB . 1,75 Hay ABC vuông tại A (3,0 điểm) + Trước tiên ta xây dựng công thức tính số đường chéo của n giác (n 4) . Từ mỗi đỉnh, ta nối với n 1 đỉnh còn lại để được n 1 đoạn thẳng, trong đó có 2 đoạn thẳng nổi đỉnh đó và hai đỉnh kề nó là hai cạnh. Vậy nên ta chi có (n 1) 2 n 3 đường chéo. Có n đỉnh nên có n(n 3) đường chéo. Nhưng theo cách tính như vậy thì mỗi đường chéo được tính 2 lần. n(n 3) V Vậy số đường chéo d của n giác là: d 2 1,0 n(n 3) + Theo bài toán thì d 20 , hay 20 n(n 3) 40 2 Với n 9 thì n(n 3) 54 40, nên n 8. Vì n là ước của 40, nên ta có: 3 n 8. 2,0 Vậy ta có hình bát giác sẽ có 20 đường chéo. Hướng dẫn chấm: - Tổng điểm toàn bài là 20, không làm tròn tổng điểm. - Giáo viên chấm có thể thống nhất chia thang điểm nhỏ hơn để chấm. - Cách giải khác, kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa.