Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Tiên Du (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Tiên Du (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN TIÊN DU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/2/2023 I. PHẦN CHUNG Câu 1(3,5 điểm) 3x 1 2 x 3 x x 1 1 1) Rút gọn biểu thức A 2 : , với xx 1; . x 1 x 1 x 1 4 x 1 4 2) Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn 2x33 x 1 3 3 x 1. Câu 2(3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 1) xx42 54; 22 2) x y 2 z x y z 9 z2 . Câu 3(3,0 điểm) 1) Xác định các số thực a, b để đa thức P x x3 ax b chia hết cho đa thức x2 1. 2 2) Cho abc,, là ba số khác 0. Chứng minh rằng nếu a b c a2 b 2 c 2 thì a2 b 2 c 2 1. a222 222 bc b ac c ab Câu 4(6,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > 2BC), trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BC = AM, trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho CE = CB. 1) Chứng minh tứ giác AMCE là hình bình hành. 2) Chứng minh các tam giác ADE và ECN bằng nhau. 3) Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F. Chứng minh tứ giác AENF là hình vuông. 4) Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP. II. PHẦN RIÊNG Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau: Câu 5a (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng nếu 2n (với nN * ) là tổng của hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương. 62x 2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A . 31x2 Câu 5b (4,0 điểm) 1) Cho biểu thức A 13 2 3 3 3 2022 3 2023 3 . Tìm số dư khi chia số A cho 3. 2) Chox, y là hai số dương thỏa mãn xy 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x3 y 5 x 5 y 3. HẾT Họ và tên thí sinh : Số báo danh
2. UBND HUYỆN TIÊN DU HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GD & ĐT ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán - Lớp 8 Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm) 3x 1 2 x 3 x x 1 1 A : xx 1; . Cho biểu thức 2 , với x 1 x 1 x 1 4 x 1 4 Rút gọn biểu thức A. 3x 1 2 x 3 x x 1 A 2 : x 1 x 1 x 1 4 x 1 3x 1 2 x 3 x 4 x 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5 3x 1 2 x x 1 3 x x 1 41x . 0,25 x 1 x 1 x 1 3x 1 2 x22 2 x 3 x 3 x 4 x 1 . x 1 x 1 x 1 0,25 x2 2 x 1 4 x 1 0,25 . x 1 x 1 x 1 2 x 1 41x . x 1 x 1 x 1 0,25 41x x 1 0,25 41x Vậy A x 1 0,25 1.2. (1,5 điểm) 2x33 x 1 3 3 x 1 2x3 x 3 3 x 2 3 x 1 3 x 3 1 0,25 2x3 x 3 3 x 2 3 x 1 3 x 3 1 0,25 3xx2 3 0 3xx 1 0 0,25 x 0 0,25 x 10 x 0 0,25 x 1 Vậy x = 0 hoặc x = -1 thỏa mãn. 0,25 2.1 (1,5 điểm)
3. xx42 54 x4 44 x 2 x 2 0.5 x4 44 x 2 x 2 2 2 2 0.25 x x 44 x 0,25 xx22 41 0,25 x 2 x 2 x 1 x 1 0,25 2.2 (1,5 điểm) x y 29 z 22 x y z z 2 x y 29 z22 z2 x y z 0,25 2 xyzzxyzz 2 3 2 3 xyz 0,25 x y z x y 5 z x y z 2 0,25 x y z x y 5 z x y z x y z 2 x 2 y 4 z 0,25 0,25 22 x y z x y z 0,25 3.1 (1,5 điểm) 3) Xác định các số thực a, b để đa thức P x x3 ax b chia hết cho đa thức x2 1. Vì chia hết cho đa thức x2 1 2 0,5 Suy ra P x x1. Q x (1) Thay x = 1 vào (1) ta có P 1 0 1 a b 0 a b 1 (*) 0,25 Thay x = -1 vào (1) ta có P 1 0 1 a b 0 b a 1 ( ) 0,25 Từ (*) và ( ) ta có: a b b a 1 1 2 b 0 b 0 a 1. 0,25 Vậy a = -1; b = 0. 0,25 3.2 (1,5 điểm) 2 Cho abc,, là ba số khác 0. Chứng minh rằng nếu a b c a2 b 2 c 2 thì a2 b 2 c 2 1. a222 222 bc b ac c ab Ta có abc 2 a2 b 2 c 2 abbcca 0 0,25 Khi đó: a22 22 bc a bc ab bc ca a2 bc ab ac a2 ab ac bc a a b c a b a b a c Tương tự: 0,25
4. b2 2 ac b a b c 0,25 c2 2 ab c a c b Do đó: a2 b 2 c 2 a222 222 bc b ac c ab abc2 2 2 0,25 abac bcba cacb a2 b c b 2 a c c 2 a b a b b c a c a2 b c ab 2 b 2 c ac 2 bc 2 a b b c a c a2 b c a b 2 c 2 bc b c a b b c a c b c a2 ab ac bc 0,25 a b b c a c b c a b a c a b b c a c 1 0,25 Vậy đẳng thức được chứng minh. 4.1 (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > 2BC), trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BC = AM, trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho CE = CB. 5) Chứng minh tứ giác AMCE là hình bình hành. 6) Chứng minh các tam giác ADE và ECN bằng nhau. 7) Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F. Chứng minh tứ giác AENF là hình vuông. 8) Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP. F N L P M G A B K D C E Vẽ hình đúng, ghi GT – KL đầy đủ. 0,5 Chứng minh tứ giác AMCE là hình bình hành
5. + Ta có ABCD là hình chữ nhật (1) nên AB // CD. Mà M AB;// E CD AM CE 0,5 + Lại có: AM = BC; CE = BC AM CE 0,5 Xét tứ giác AMCE có: AM // CE; AM = CE Do đó tứ giác AMCE là hình bình hành. 0,5 4.2 (1,5 điểm) Chứng minh các tam giác ADE và ECN bằng nhau. + Từ (1) AB CD ; 0,25 Mà AB = AM + BM; CD = CE + DE; AM = CE (cmt) BM DE 0,25 Mặt khác CN = BM (gt) DE = CN (= BM) 0,25 + Từ (1) AD BC , mà CE = BC AD = CE (= BC) 0,25 + Xét ADE và ECN có: AD CE cmt ADE ECN 900 0,5 DE CN cmt ADE ECN c g c 4.3 (1,5 điểm) Chứng minh tứ giác AENF là hình vuông AE NE + Có ADE ECN cmt 0,25 AED CNE Mà CNE vuông tại C ENC NEC 900 AED NEC 90 0 AEN 90 0 0,25 + Xét tứ giác AENF có: AEN 900 cmt FAE 900 AF AE 0 FNE 90 FN NE 0,5 Suy ra AENF là hình chữ nhật Lại có AE = NE (cmt) 0,25 Nên AENF là hình vuông. 0,25 4.4 (1,5 điểm) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP + Có AENF là hình vuông và AN cắt EF tại L NLE vuông cân tại L. 1 0,5 Hạ LG NE G NE G là trung điểm của NE và LG NE (*) 2 + AMCE là hình bình hành (cmt) AE// CM , mà AE EN CM  EN 0 hay PK KN PKN vuông cân tại K (do PNE 45 ) PK NK ( ) 0,5 1 + NKL có LG NK S LG. NK NKL 2 1 0,25 NPE có PK NE SNPE PK. NE 2 11SNKL Do đó kết hợp với (*) và ( ) SSNKL NPE . 0,25 22SNPE 5.1 bảng A (2,0 điểm) Theo bài ra : 2n a22 b với a,. b N 0,25 Từ đây suy ra a, b cùng tính chẵn lẻ. 0,25 Do đó ab và ab là các số chẵn. 0,25
6. a b2 m Đặt trong đó m,. k Z a b2 k 0,25 Suy ra: a m k, b m k 0,5 Khi đó 2.n m k 22 m k n m22 k 0,5 Vậy có đpcm. 5.2 bảng A (2,0 điểm) 62x 3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A . 31x2 62x *)A 31x2 62x 11 0,25 31x2 6xx 2 32 1 1 31x2 31 x 2 1 2 31x 0,25 A 1 với x Dấu “=” xảy ra khi x = 1. 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x = 1. 0,25 62x *)A 31x2 62x 33 0,25 31x2 6xx 2 92 3 3 31x2 31x 2 2 3 31x A 3 với x 0,25 1 Dấu “=” xảy ra khi x 3 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -3 khi . 0,25 5.1 bảng B (2,0 điểm) A 13 2 3 3 3 2022 3 2023 3 . Tổng A có 2023 số hạng. Ta chia thành 2023 : 3 = 674 (nhóm), dư 1 số như sau: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A 1 2 3 4 5 6 2020 2021 2022 2023 0,25 + Chứng minh đẳng thức a3 b 3 c 33 abc abca 2 b 2 c 2 abbcca 0,5 (1) + Nếu a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp. Giả sử a =n; b = n+1, c = n+2 nN khi đó ta có a b c n n 1 n 2 3 n 3 chia hết cho 3. Mà 3abc cũng 3 3 3 chia hết cho 3 nên từ (1) abc 3 0,5 +Áp dụng kết quả trên ta có:
7. 13 2 3 3 3 3 0,5 43 5 3 6 3 3 0,25 20203 2021 3 2022 3 3 2023 chia cho 3 dư 1 nên 20233 chia cho 3 cũng dư 1 Do đó A chia cho 3 dư 1. 5.2 bảng B (2,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn xy 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x3 y 5 x 5 y 3. + Trước hết ta CM BĐT: a b 2 4 ab . Dấu “=” xảy ra khi a = b. 0,5 +Áp dụng BĐT trên ta có: A x3 y 5 x 5 y 3 x3 y 3 x 2 y 2 1 2 xy .2 xy x22 y 2 2 2 22 1 xy 2xy x y 2 4 4 2 114 xy 2 16 4 1 . 1,0 128 1 Dấu “=” xảy ra khi x = y = . 0,25 2 1 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của A là khi x = y = 128 Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết