Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Ứng Hòa (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN ỨNG HÒA VÀ OLYMPIC LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 9 (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1. (5 điểm): 3x 9x 3 x 1 x 2 Cho biểu thức : P ( với x 0; x 1). x x 2 x 2 1 x a) Rút gọn biểu thức P. b) Chứng minh rằng: nếu 0 < x < 1 thì P < 0. c)Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2. (4 điểm): a) Giải phương trình: x 2017 4x 8068 3 b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn : 3xy + x + 2y = 5 Câu 3. (4 điểm): a) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m 2) (m 3)y m 8 Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. b) Cho ba số x; y; z thỏa mãn: x2 + 2y + 1 = y2 + 2z + 1 = z2 + 2x + 1 = 0 Tính giá trị biểu thức A = x2016 + y 2017 + z2018 Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC có góc A bằng 90o; đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ tiếp tuyến tới đường tròn tâm I đường kính AH; chúng cắt BC tại E và F. a) Chứng minh PE song song với QF. b) Chứng minh hệ thức: AB.AP = AQ.AC c) Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính độ dài EF d) Giả sử BC cố định còn A di động sao cho góc BAC bằng 90o; góc ACB = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 3sin 4cos Câu 5. (1 điểm): Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 1 ab bc ca 3 Chứng minh rằng ab c bc a ca b 4 Họ và tên thí sinh: SBD:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN ỨNG HÒA VÀ OLYMPIC LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 Câu Nội dung Điểm a) Rút gọn 3x 3 x 3 ( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2) 1đ P ( x 1)( x 2) 3x 3 x 3 x 1 x 4 P ( x 1)( x 2) 0,5đ x 3 x 2 Câu 1 P (5.0đ) ( x 1)( x 2) 0,5đ x 1 P x 1 0,25đ b) Với 0 < x < 1 thì 0 < x < 1 hay x 1 < 0 x 1 0 P 0 0,5đ 2 0,25đ c) P 1 x 1 x 1 1; 1;2; 2 1đ x 2;0;3 x 4;0;9 1đ a) Giải phương trình : ĐK : x ≥ 2017 ta có 0,25đ x 2017 4x 8068 3 0,5đ 3 x 2017 3 0,5 đ Câu 2 x 2017 1 (4đ) 0,5 đ x 2018 0,25đ b) 9xy + 3x + 6y = 15 0,5đ (3x + 2)(3y + 1) = 17 0,5đ 17 = 1. 17 = -1.(-17) Xét 4 trường hợp và kết luận. 1đ
3. a) Gọi x0 ; y0 là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua 0,5đ Ta có: (m 2)x0 (m 3)y0 m 8 m . (x0 y0 1)m 2x0 3y0 8 0 m. 0,5đ Câu 3 x0 y0 1 0 x0 1 (4 đ) 0,5đ 2x0 3y0 8 0 y0 2 Vậy điểm cố định mà (d) đi qua là (-1;2) 0,5đ b) x2 +2y + 1 = 0 y2 + 2z + 1 = 0 z2 + 2x + 1 = 0 Cộng theo vế ba đẳng thức trên được: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 0 1 đ Suy ra x = y = z = -1 0,5 đ Thay vào được A =1 A 0,5đ a) Vẽ hình đến câu a Q P I C B Câu 4 E H F 0,5đ (6 đ) Chứng minh P;I;Q thẳng hàng suy ra điều phải chứng minh 1 đ b) Chứng minh APHQ là hình chữ nhật Suy ra HP  AB; HQ  AC 0,5đ Áp dụng hệ thức lượng được AH2 = AP.AB = AQ.AC Suy ra đpcm 0,5đ c) Chứng minh E là trung điểm của BH; F là trung điểm của HC 0,5đ Suy ra EF = ½ BC 0,5đ Tính được BC = 13 cm suy ra EF = 13/2cm 0,5đ 0,5đ d)Chứng minh bất đẳng thức (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) s2 (9 16)(sin2 cos2 ) 0,5đ s2 25 s 5 Giá trị lớn nhất của s = 5 khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân 0,5đ 0,5đ Câu 5 0,25đ (1đ) ab + c = ab + c(a + b + c) = =(a + c)(b + c) Tương tự bc + a = (a+b)(a + c); ca + b = (a + b)(b + c) 0,25đ Thay vào bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với 0,25đ abc 1 (a b)(b c)(c a) 8 0,25đ Chứng minh bất đẳng thức theo BĐT Cosi