Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

1. PHÒNG GDĐT KRÔNG ANA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KHÓA NGÀY 30/01/2021 Đề thi môn: TOÁN; LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC x - 2 x 7 3 x - 2 1 Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức P x . 3 x - 2 11- x x -3 x - 2 - 2 a) Tìm điều kiện của x để P x có nghĩa. b) Rút gọn P x . 36 2 36 c) Tính giá trị của P x khi x . 2 1 . 3 2 2 Câu 2 (6 điểm) a) Cho các đường thẳng d1 : y 2;d2 : y 4;d3 : y ax 5, a 0 . Gọi A,B,C,D lần lượt là giao điểm của d2 và d3 , d2 và trục tung, d1 và trục tung, d1 và d3 . Tìm a sao cho tứ giác ABCD có diện tích bằng 10cm2 (giả sử đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm ). b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 31 là số chính phương. c) Cho n là số nguyên bất kì lớn hơn 1, đặt P n là tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n4 , P n 1.2.3 n4 1 .n4 . Chứng minh rằng P n chia hết cho n12 1 với mọi giá trị nguyên n 1. Câu 3 (2 điểm) Cho tam giác ABC . Giả sử điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho P·AC = 10°, P·CA = 20°, P·AB = 30° và A·BC = 40° . Tính số đo góc ·APB . Câu 4 (5 điểm) Cho ptam giác đều ABC , D là trung điểm của cạnh BC . Gọi E,F lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh AB, AC sao cho E·DF = 60 . a) Chứng minh tích BE.CF là một số không đổi. b) Gọi C là đường tròn tâm D và tiếp xúc với đường thẳng AB . Chứng minh rằng đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn C . c) Đường thẳng đối xứng với AB qua DC , cắt đường thẳng EF tại H , gọi K là điểm đối xứng với F qua D . Chứng minh ba điểm H, B, K thẳng hàng và góc H·DE có độ lớn không đổi. Câu 5 (2 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 6a 2b 3c 13 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2b 3c 18 6a 3c 18 6a 2b 18 P 6a 1 2b 1 3c 1 Hết Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2
2. PHÒNG GDĐT KRÔNG ANAKỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KHÓA NGÀY: 30/01/2021 Môn: TOÁN; LỚP 9 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Ý Câu trong Nội dung Điểm câu x 2 x 7 3 x 2 1 P có nghĩa khi và chỉ khi a) 3 x 2 11 x x 3 x 2 2 (1,0 x 2 0 1,0 x 2 điểm) 11 x 0 x 11 x 3 x 2 2 0 x 2 x 2 9 3 x 2 1 P 1,0 3 x 2 9 x 2 x 2 x 2 3 Đặt y x 2, y 0, y 3, b) y y2 9 3y 1 3y y2 y2 9 3y 1 1 P (5 (3,0 3 y 9 y2 y y 3 9 y2 y y 3 1,5 điểm) điểm) 3 3y 1 1 3 y y y 3 y y 3 1 Vậy P 0,5 x 3 x 2 2 36 2 36 36 2 1 Ta có: x . 2 1 . 2 1 6 0,5 c) 2 3 2 2 2 1 (1,0 điểm) 36 2 36 1 Nên tại x . 2 1 thì P . 0,5 3 2 2 2
3. a) (2 2,0 điểm) Vì a âm nên ta có các đường thẳng y 2; y 4; y ax 5 như hình vẽ. 9 7 Ta có A ;4 ,B 0;4 ,C 0;2 ,D ;2 . 2 a a 7 9 (6 điểm) a a 16 ABCD là hình thang vuông, có diện tích bằng S .2 . 2 a 16 8 Từ giả thiết ta có 10 a . a 5 Giả sử n2 31 k 2 ,k ¥ * , khi đó 2 2 0,5 b) n 31 k k n k n 31 * . (2 * k n 31 k n 31 điểm) Do k,n ¥ nên từ * suy ra hoặc . 1,0 k n 1 k n 1 Tìm được duy nhất giá trị n 15 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,5 Với mọi số nguyên dương n 1 ta có 12 4 8 4 4 4 2 2 2 1,0 c) n 1 n 1 n n 1 n 1 n n 1 n n 1 n n 1 (2 Dễ thấy, các số n4 1 ; n4 n2 1 ; n2 n 1 ; n2 n 1 đôi một điểm) 1,0 khác nhau và nhỏ hơn n4 , nên P n chia hết cho n12 1. 3 (2 1,0 điểm)
4. Ta có C· AB P· AC P· AB 40 A· BC suy ra tam giác ABC cân tại C , có đường cao CH là trục đối xứng và A· CB 100 . Gọi Q là điểm đối xứng với P qua CH , suy ra CP CQ , Q· CB 20 . Khi đó CP CQ,P· CQ 60 nên tam giác CPQ đều. Xét 2 tam giác CQB và PQB có CQ PQ,C· QB P· QB 150,QB chung · · nên hai tam giác này bằng nhau (c.g.c) suy ra QPB QCB 20 . 1,0 Suy ra ·APB 360 A· PC Q· PB C· PQ 130 . a) 1,0 (1,5 điểm) ¶ · ¶ · ¶ · µ ¶ µ ¶ µ µ Kí hiệu D1 BDE, D2 EDF, D3 FDC và các góc B1, B2 , E1, E2 , F1, F2 4 như hình vẽ. ¶ ¶ µ µ ¶ ¶ µ (5 Ta có D1 D2 F2 C (cùng bù với D3 ) D1 F2 . điểm) Mặt khác Bµ Cµ 60 nên BED đồng dạng với CDF . BE BD Suy ra BE.CF CD.BD không đổi. 0,5 CD CF DE BE BE Xét hai tam giác BED và DEF có ; Bµ Dµ 2 nên BED FD CD DB 0,5 đồng dạng với DEF . Suy ra Eµ 1 Eµ 2 . b) µ µ (1,5 Tương tự, DEF đồng dạng với CDF . Suy ra F1 F 2 . điểm) Do đó ED, FD lần lượt là các tia phân giác của các góc B· EF và C· FE . Đây 0,5 là hai góc ngoài của tam giác AEF . Vậy đường tròn đã cho chính là đường tròn bàng tiếp của tam giác AEF nên 0,5 nó tiếp xúc với EF . Do AB là tiếp tuyến của đường tròn C và BC đi qua tâm D nên HB cũng 0,5 µ µ c) là tiếp tuyến của (D) B2 B1 60 . Gọi K là giao điểm của FD và HB (2,0 K¶ Fµ 1 điểm) BDK CDF (g-c-g) suy ra . Suy ra K là điểm đối xứng K D DF 0,5 với F qua D hay K trùng với K . Vậy H, B, K thẳng hàng.
5. Ta có HFK cân tại H , D là trung điểm của KF HD  DF . 1,0 Suy ra H· DE H· DF E· DF 90 60 30 Đặt x 6a 1; y 2b 1; z 3c 1, suy ra x y z 16 . y z 16 z x 16 x y 16 Ta có P x y z 0,5 x y y z z x 1 1 1 16 y x z y x z x y z 5 x y y z z x 1 1 1 x y z (2 y x z y x z x y z điểm) 1,0 x y y z z x 2 2 2 3 15 y x z y x z 16 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 15khi x y x hay 3 13 13 13 0,5 a ; b ; c . 18 6 9 Hướng dẫn chấm: - Thí sinh có thể giải theo cách khác, nếu bài làm có lập luận chặt chẽ và cho kết quả đúng thì được điểm tối đa cho ý tương ứng. - Tổng điểm toàn bài là 20, không làm tròn tổng điểm. - Giáo khảo có thể thống nhất chia thang điểm nhỏ hơn để chấm nhưng không nhỏ hơn 0,25 điểm cho mỗi ý. - Câu 1 thí sinh có thể làm 3 ý a), b), c) độc lập. - Câu 3 và câu 4 nếu không có hình vẽ thì không chấm điểm cho ý liên quan.