Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD và ĐT Krông Ana (Có đáp án)

1. PHÒNG GDĐT KRÔNG ANA KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 – 2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi môn: TOÁN, LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút 3 x 1 1 1 Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức P x . 3x x 1 3 x 1 a) Rút gọn P x . b) Tìm tất cả các giá trị x sao cho P x 2 . Câu . (4 điểm) a) Xác định hệ số góc của đường thẳng y ax 3 biết đường thẳng đó đi qua điểm C 1;2 . b) Cho hàm số bậc nhất y mx 2m có đồ thị là đường thẳng d . Tìm m biết d cắt hai trục tọa độ lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3cm2 (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xen-ti-mét). Câu 3. (3 điểm) Vào ngày x tháng y x y năm 2021, bạn Mai gặp một người bạn trên một trang tự học trực tuyến, Mai hỏi tuổi của bạn để tiện xưng hô, người bạn ấy trả lời: “sinh nhật tôi 4 năm mới có 1 lần, nếu lấy tổng bình phương của ngày và tháng hôm nay cộng với 1928 thì sẽ ra năm sinh của tôi. Biết rằng tôi sinh vào thế kỉ 21, bạn đoán xem tôi sinh vào ngày tháng năm nào?”. Em hãy giúp Mai tính ngày sinh của người bạn ấy. Câu 4. (6 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường cao AH , ·ABC 45, BH 20cm, HC 21cm . Tính độ dài cạnh AC . b) Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong của các góc B· AC và ·ABC cắt nhau tại O . Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O lên các đường thẳng AB, BC, AC . Chứng minh rằng 2AD AB AC BC . c) Cho đường tròn đường kính AB , điểm M nằm trên đoạn thẳng AB và không trùng với A và B . Gọi Ax và By lần lượt là các tia nằm trên các tiếp tuyến của đường tròn đó tại A và B và cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB . Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax , By theo thứ tự tại C và D . Xác định vị trí của các điểm C và D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Câu 5. (2 điểm) a) Cho a,b,c, x, y, z là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: ax by cz 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 . b) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 27 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c b a c c a b Hết Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1 Chữ ký giám thị 2 PHÒNG GDĐT KRÔNG ANAKỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
2. NĂM HỌC 2021 – 2022 Môn: TOÁN; LỚP 9 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Ý Câu trong Nội dung Điểm câu 3 x 1 1 1 Rút gọn biểu thức P x 3x x 1 3 x 1 x 1 0 Điều kiện: x 1 0,5+0,5 3x x 1 3 0 a) (3,0 Ta có x 1: 3 x 1 1 0 nên 1 điểm) 3 x 1 1 3 x 1 1 1 (5 1,5 2 điểm) 3x x 1 3 3 x 1 x 1 x 1 2 Vậy P 0,5 x 1 b) 2 (thỏa điều kiện) (2,0 P x 2 2 x 1 1 x 2 2,0 x 1 điểm) Xác định hệ số góc của đường thẳng y ax 3 biết đường thẳng đó đi qua điểm a) C 1;2 . (2 điểm) Đường thẳng y ax 3 đi qua điểm C 1;2 nên 2 a.1 3 a 1 1,5 Vậy hệ số góc của đường thẳng y ax 3 là a 1 0,5 Cho hàm số bậc nhất y mx 2m có đồ thị là đường thẳng d . Tìm m biết d cắt hai 2 trục tọa độ lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3cm2 (4 (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xen-ti-mét). điểm) b) Do y mx 2m là hàm số bậc nhất nên m 0 . 0,5 (2 Không mất tính tổng quát, giả sử A 0; 2m , B 2;0 . 0,5 điểm) 1 Tam giác OAB vuông tại O nên có diện tích bằng .OA.OB 2m cm2 0,5 2 3 Từ giả thiết ta có 2m 3 m . 0,5 2 Vào ngày x tháng y x y năm 2021, bạn Mai gặp một người bạn trên một trang tự học trực tuyến, Mai hỏi tuổi của bạn để tiện xưng hô, người bạn ấy trả lời: “sinh nhật tôi 4 năm mới có 1 lần, nếu lấy tổng bình phương của ngày và tháng hôm nay cộng với 1928 thì sẽ ra năm sinh của tôi. Biết rằng tôi sinh vào thế kỉ 21, bạn đoán xem tôi 3 sinh vào ngày tháng năm nào?”. Em hãy giúp Mai tính ngày sinh của người bạn ấy. (3 Người bạn đó 4 năm mới có sinh nhật một lần, chứng tỏ ngày sinh là 29 tháng 0,5 điểm) 2 và từ giả thiết suy ra người đó có năm sinh là một số chia hết cho 4. Đặt N x2 y2 1928,0 x y 13 với x, y là các số nguyên dương thì 0,5 N4,2000 N 2021 72 x2 y2 93. Lại do 19284 nên để N4 thì x2 y2 4 0,5
3. Lập bảng giá trị của x, y ta thấy chỉ có một cặp giá trị thỏa mãn tất cả các x 4 1,0 điều kiện ở trên là . y 8 Ta có N x2 y2 1928 42 82 1928 2008 . Vậy người bạn đó sinh 0,5 ngày 29 tháng 2 năm 2008. Cho tam giác ABC có đường cao AH , ·ABC 45, BH 20cm, HC 21cm . Tính độ dài cạnh AC . a) 0,5 (2 điểm) Hình vẽ, giả thiết, kết luận · Tam giác AHB vuông tại H, có ABH 45 nên là tam giác vuông cân, suy 1,0 ra AH BH 20cm . Tam giác AHC vuông tại H, cạnh huyền AC AH 2 HC 2 29cm 0,5 Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong các góc B· AC và ·ABC cắt nhau tại 4 O . Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O lên các đường thẳng AB, BC, AC . (6 Chứng minh rằng 2AD AB AC BC . điểm) b) (2 0,5 điểm) Điểm O là giao của các đường phân giác trong nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Từ giả thiết suy ra các cạnh AB, BC,CA tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tại D, E, F . Theo định lý về các tiếp tuyến cắt nhau ta có 0,5 AD AF, BD BE,CE CF . Mà AD AB DB, AF AC FC nên 2AD AD AF AB AC DB FC AB AC BE EC 1,0 Hay 2AD AB AC BC
4. Cho đường tròn đường kính AB , điểm M nằm trên đoạn thẳng AB và không trùng với A và B . Gọi Ax và By lần lượt là các tia nằm trên các tiếp tuyến của đường tròn đó tại A và B và cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB . Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax , By theo thứ tự tại C và D . Xác định vị trí của các điểm C và D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. 0,5 c) (2,0 điểm) Ta thấy Ax và By tiếp xúc với đường tròn đường kính AB lần lượt tại A và B nên chúng cùng vuông góc với AB , suy ra các góc ·AMC và B· DM cùng phụ với góc B· MD nên bằng nhau, đặt ·AMC . Đặt AM a, MB b , xét các tam giác vuông CAM và MBD ta có a b MC , MD suy ra diện tích tam giác vuông MCD bằng cos sin 0,5 ab S . 2sin cos Ap dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 2 số dương sin ,cos ta có 1 0,5 sin cos 2 sin .cos 4sin .cos 1 2sin .cos sin .cos 2 ab Suy ra S ab . 2sin cos 2 0,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của S là ab khi sin cos . Khi đó 2 AC AM a, BD MB b Cho a,b,c, x, y, z là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: ax by cz 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 . Ta có ax by cz 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 a) 0,5 2 2 2 2 2 2 5 2abxy 2acxz 2bcyz ay az bx bz cy cx (2 ay bx 2 az cx 2 bz cy 2 0 luôn đúng với a,b,c, x, y, z là điểm) 0,25 các số thực bất kì. Đẳng thức xảy ra khi có số k sao cho a kx,b ky,c kz . 0,25 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 27 . Tìm giá trị lớn nhất của b) biểu thức P a b c b a c c a b Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) cho các số a,b,c,1,1,1 ta có 0,25
5. a b c 2 3 a2 b2 c2 81. Do a,b,c dương nên 0 a b c 9 Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) cho các số a,b,c, b c, a c, a b ta có 0,25 P2 a2 b2 c2 2 a b c 486 . P2 486 khi a b c 3 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của P a b c b a c c a b bằng 9 6 tại 0,25 a b c 3 . Hướng dẫn chấm: - Thí sinh có thể giải theo cách khác, nếu bài làm có lập luận chặt chẽ và cho kết quả đúng thì được điểm tối đa cho ý tương ứng. - Tổng điểm toàn bài là 20, không làm tròn tổng điểm. - Giáo khảo có thể thống nhất chia thang điểm nhỏ hơn để chấm nhưng không nhỏ hơn 0,25 điểm cho mỗi ý chấm. - Câu 4a), 4b), 4c) nếu không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm cho ý liên quan.