Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hương Khê (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hương Khê (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯƠNG KHÊ NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán - Lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 120 phút) I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) xx6 - 4 Câu 1. Rút gọn biểu thức A = - Với x 2 xx- 2 - 4 2 Câu 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4(2)9(2)xxx2 −+− Câu 3. Cho biết a b− 5 = − . Tính giá trị của biểu thức: Ea(a2)b(b2)2ab=++−− x−241 x − 220 x − 195 x − 166 Câu 4. Giải phương trình + + + =10 . 17 19 21 23 Câu 5. Cho đa thức Mxxaxb( ) =++3 với (a b, R ) . Biết đa thức Mx( ) chia cho ( x − 2) thì dư 12, Mx( ) chia cho ( x +1) dư −6 . Tính giá trị của biểu thức: A=(6 a + 3 b − 11)( 26 − 5 a + 5 b) 34− x Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 +1 Câu 7. Tìm tất cả các số nguyên x sao cho xx2 ++3 là số chính phương. Câu 8. Một nhóm gồm 41 học sinh tổ chức đi dã ngoại, chi phí cho chuyến đi được chia đều cho tất cả mọi người. Sau khi hợp đồng xong, gần đến giờ lên đường thì có 4 bạn do có việc đột xuất không thể tham gia nên không đóng tiền. Vì vậy, mỗi bạn còn lại đóng thêm 20 000 đồng để bù vào số tiền thiếu. Hãy tính tổng chi phí của chuyến đi. Câu 9. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác ABC. Tính độ dài đoạn BI. Câu 10. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC ⊥ BD. Biết AC = 8cm, BD = 6cm. Tính chiều cao của hình thang. II. PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11. a) Giải phương trình: xxx32−−= 2 b) Tìm đa thức Ax() biết chia cho (x − 2) dư 5, chia cho ( x − 3) dư 7, chia cho (xx−−23)( ) được thương là x2 −1 và còn dư. 11 c) Cho các số ab, khác 0 thỏa mãn ab24+++= 4 . Tính giá trị biểu thức Pab=+3 . ab24 Câu 12. Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C( khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a) Chứng minh tam giác OAC đồng dạng với tam giác DBO. b) Kẻ OM vuông góc với CDtại M. Chứng minh CA= CM c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH. Câu 13. Một cửa hàng bán bưởi Phúc Trạch với giá mỗi quả là 50 000 đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 40 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 1 000 đồng thì số bưởi bán tăng thêm được là 10 quả mỗi ngày. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi quả bưởi 30 000 đồng. Hết - Thí sinh không được sử dụng máy tính và tài liệu. Họ và tên thí sinh số báo danh .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 điểm – mỗi câu 1 điểm) Câu Hướng dẫn giải Kết quả Điểm x6x4x(x2)6x4x2−+−+− x2− 1 A =−== A = 1đ x2x4(x2)(x2)x2−−+−+ 2 x2+ 2 (x-2)(2x- 2 4x(x2)9(2x)(x2)(2x3)(2x3)−+−=−+− 1đ 3)(2x+3) Ea(a2)b(b2)2ab(ab)2(ab)=++−−=−+− 2 3 =15 1đ =−+−=(5)2(5)152 xxxx−−−−241220195166 +++= 10 17192123 x−241 x − 220 x − 195 x − 161 −1 + − 2 + − 3 + − 4 = 0 17 19 21 23 xxxx−−−−258258158158 +++= 0 4 17192123 x=258 1đ 1111 −+++=(x 2580) 17192123 −= =xx2580258 ba++=2412( ) −+=aba −= 53 ba−+=( −16) 242abb+== − 5 B = 1. 1đ Babab=+−−+(63112655 )( ) =−−−−=(6.33.211265.35.21)( ) 3−−+ 4441(2)xxxxx −−−222 Min A=-1 Axx===− − − = = 112 02 0,5đ xxx222+++111 6 Khi x=2; 3−+ 444xxxxx −−−+− 441(21)1222 Max A=4 AAx=== − = = 444 0,5đ xxx222+++1112 max khi x=-1/2 xxyxxyxy22222+ +34412421114 = ++= ++= ( )2 . ++−−=(221yxyx 22111)( ) 221yxx++ 112 == Th1: . 221yxy−− 13 == 221yxx++ 13 == − Th2: 7 221yxy−− 113 == x=-3;2 1đ 2y+ 2 x + 1 = − 11 x = − 3 Th3: 2y− 2 x − 1 = − 1 y = − 3 2y+ 2 x + 1 = − 1 x = 2 Th4: 2y− 2 x − 1 = − 11 y = − 3 Gọi số tiền mỗi học sinh phải đóng là x (nghìn đồng, x 0 ) 8 Khi đó tổng chi phí của chuyến đi cho 41 học sinh là 41x (nghìn 7585000đ 1đ đồng)
3. Vì sau đó chỉ có 37 học sinh tham gia và mỗi bạn phải đóng thêm 2 00 0 0 nên tổng chi phí lúc đó là 3737.2037740xx+=+ (đồng) Như vậy ta có phương trình: 41xx=+ 37 740 Giải phương trình thu được x =185 nghìn đồng Tổng chi phí của chuyến đi là 185000.417585000= đồng. 9 Sử dụng tính chất đường phân giác. B I 2= 5 1đ Qua B kẻ đt song song với AC cắt tia DC tại E, Ta có BECA là hình bình hành nên BE=AC =8cm, DE=10cm BH = 4,8 10 Kẻ BH vuông góc với DC cm 1đ Ta có BH.DE =BD.BE =2S(DBE) suy ra BH=4,8 cm II. PHẦN TƯ LUẬN: ( 10 điểm) Câu Hướng dẫn giải Điểm a) pt(x2)(xx1)0 −++= 2 0,5 x2= x20−= 2 132 0,5 xx10++= (x)0++= vn 24 0,5 Tập nghiệm của PT S2=  0,5 b) Gọi A( xxxxaxb )231=−−−++( )( ) 2 . ( ) A(x) chia cho (x − 2) dư 52525 = +=Aab( ) . 0,5 A(x) chia cho ( x − 3) dư 73737 = +=Aab( ) . 252aba+== 0,5 Từ đó ta có . 371abb+== 11 Từ đó A( xxxxxxxxx) =−−−++( 231215575)( =−++−)( 2432 ) . 0,5 5.0đ 1 1 1 1 c) a2+++= −++−+= b 44 a 2 2 b 4 2 0 a2 b 4 a 2 b 4 11 a2 − = a 1 22 a − ==00 a =−1 112 aa −+−=ab 0 2 4 ab 2 1 b −1 b =1 b −=0 = 0 1,0 2 b b b =−1 + Với abP==1,11 = 12 += 3 + Với a= −1, b = 1 P = − 1 + 13 = 0 + Với abP==1,1110 − = + −= ( )3 + Với abP=−=−1,1112 =− + −=− ( )3 0,5 Vậy P − 2;0;2 . a) Chứng minh được OAC DBO(g.g) 12 1.5
4. 4đ I D M C K A H O B OCAC b) Theo câu 1 ta có: =OACDBOg.g ( ) ODOB OCACOCOD 0.5 Mà OAOB= = = ODOAACOA Chứng minh =OCDACOc.g.cOCDACO( ) 0.5 Chứng minh =OACOMC(chgn)ACMCdfcm − = ( ) 0,5 c) Ta có: OAC = OMC OA = OM;CA = CM OC là trung trực của AM ⊥O C A M Mặt khác OAOMOBAMB== vuông tại M O C / /B M (vì cùng vuông góc với A M ) hay OC//BI Chứng minh được C là trung điểm của AI 1.0 MKBKKH Do MH//AI theo hệ quả định lý Ta let ta có: == ICBCAC Mà ICACMKHKBC= = đi qua trung điểm MH (đpcm) Gọi x là giá bán thực tế để có lợi nhuận ( x đồng, 30000 x 50000) Tương ứng với giá bán x thì số quả bán được trong 1 ngày là: 0.25 101 − 40(50000x)x540+−=+ 1000100 Lợi nhuận thu được là 13 −112 1.0đ x+ 540( x − 30000) = − x + 840x − 16200000 100 100 2 1 = − x − 4200 + 144000 14400,  x  30000;50000 10 0.5 Vậy giá trị lợi nhuận lớn nhất là 144000 đồng khi x=42000 đồng Giá bán đạt lợi nhuân lớn nhất là 42000 đồng/quả. 0,25