Đề thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Cầu Giấy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Cầu Giấy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 31/10/2020 Đề số 16 Bài 1. (6,0 điểm): xxxx −−+32(3)3 1. Cho biểu thức M =−+ xxxx−−+−2313 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M xác định và thu gọn. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M. 2. Cho các số thực x y,, z đôi một khác nhau, thỏa mãn: x y y+ z +z x = 0 . Chứng minh rằng: 111 ++= 0 xyzyxzzxy222+++222 Bài 2 ( 6,0 điểm): 1. Giải phương trình: xxxx222(2)1224+=−+ 2. Cho a, b , ,c d là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a2+ b 2 + c 2 = d 2 . Chứng minh rằng a, b , ,c d không thể đồng thời là các số lẻ. Bài 3 (7,0 điểm):  Cho hình bình hành ABCD ( A nhọn, ABAD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AC cắt đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD tại điểm P; từ P vẽ PM vuông góc với BC ( M thuộc đường thẳng BC) và PN vuông góc với CD ( N thuộc đường thẳng CD). Gọi S là hình chiếu của B trên AC. a) Chứng minh rằng C B S đồng dạng với P C M và A C P đồng dạng với B S O. b) Chứng minh rằng AB22−= BC2. CP BS . c) Chứng minh rằng M, N, O thẳng hàng. Bài 4 (1 điểm) Cho các số thực abc,,,x,y,z thỏa mãn 0 abc ,, 1;x,y,z 1 và abcxyz+++++= 6.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Mabcxyz=+++++222222 .  HẾT 
2. HƯỚNG DẪN GIẢI KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM 2020-2021 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 31/10/2020 Bài 1. (6,0 điểm): x x−3 2( x − 3) x + 3 1. Cho biểu thức M = − + x−2 x − 3 x + 1 3 − x a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M xác định và thu gọn. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M. Lời giải a) Ta có x x−+3323( x − ) x M = − + x−2 x − 3 x + 1 3 − x 2 xx− 3 2( x− 3) ( x + 3)( x + 1) = − − ( x+1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) x x−3 − 2( x − 6 x + 9) −( x + 4 x + 3) = ( xx+−13)( ) x x−3 − 2 x + 12 x − 18 − x − 4 x − 3 = ( xx+−13)( ) x x−3 x + 8 x − 24 x( x+8) − 3( x + 8) == ( x+1)( x − 3) ( x + 1)( x − 3) ( xx+−83)( ) x + 8 == ( xx+−13)( ) x +1 x + 8 Vậy Mxx= ( 0;9 ) x +1 b) Với xx 0, 9 ta có 99 M= x −1 + = x + 1 + − 2 xx++11 9 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x + 10,0 ta có x +1 9 9 9 ( x+1) + 2( x + 1) . x + 1 + − 2 6 − 2 x+1 x + 1 x + 1 MM 6 − 2 4 Dấu “=” xảy ra
3. 9 x +1 = x +1 2 ( x +19) = x +=13 x = 2 x = 4( TM ) x +13 = − xL=−4( ) Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 4 khi x = 4 2. Cho các số thực x y,, z đôi một khác nhau, thỏa mãn: x y y+ z +z x = 0 . Chứng minh rằng: 111 ++= 0 xyzyxzzxy222+++222 Lời giải x y,, z đôi một khác nhau, xyyzzx++= 01( ) y = 0 + Giả sử xyz= = 00 (trái giả thiết) z = 0 +x y2 z 20 , tương tự các mẫu còn lại. 111 Do đó P =++ xác định. xyzyxzzxy222+++222 Ta có x2+21 yz = x 2 + yz + yz = x 2 + yz +( − xy − xz)( do ( )) =x2 − xy + yz − xz = xx( − y) − zx( − y) =( x − z)( x − y) Tương tự yxzyxyz2 +=−−2 ( )( ) ; zxyzxzy2 +=−−2 ( )( ) Vậy: 111 P =++ ( xyxzyxyzzxzy−−−−−−)( ) ( )( ) ( )( ) zyxzyx−+−+− ==0 ( xyyzzx−−−)( )( ) Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài 2 ( 6,0 điểm): 1. Giải phương trình: x2( x 2+ 2) = 12 − x 2 x 2 + 4 Lời giải Đặt x xt22+ tx202 22 = += xt ( ) ( ) Thay vào phương trình ta có
4. tt2 =−122 +−=tt2 2120 t = 22 tL=−32( ) += += +−=xxxxxx2224222228280 +−−= +−+=xxxxxx42222242804240 ( ) ( ) +−=( xx22420)( ) x2 = 2 x = 2 2 xL=−4( ) x =− 2 Vậy nghiệm của phương trình là S =− 2; 2  2. Cho a, b , ,c d là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a b2222 c+ d + = . Chứng minh rằng a,,, b c d không thể đồng thời là các số lẻ. Lời giải Giả sử a là số lẻ thì akkakk=+ =++21441( ) 22 suy ra a2 chia 4 dư 1. Giả sử a, b , ,c d đồng thời là các số lẻ thì abc222++ chia 4 dư 3 mà d 2 chia 4 dư 1 (vô lý) Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 3 (7,0 điểm):  Cho hình bình hành ABCD ( A nhọn, ABAD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AC cắt đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD tại điểm P; từ P vẽ PM vuông góc với BC ( M thuộc đường thẳng BC) và PN vuông góc với CD ( N thuộc đường thẳng CD). Gọi S là hình chiếu của B trên AC. a. Chứng minh rằng C B S đồng dạng với P C M và A C P đồng dạng với B S O. 22 b. Chứng minh rằng ABBCCP−= BS 2 c. Chứng minh rằng M, N, O thẳng hàng. Lời giải
5. a) Ta có =BCSMCPMPCCBSPCMg − =90.  g ( ) =CAPAOHBOSOBSACPBSOg − =9090. − =  g ( ) b) Ta có: BABCSASBSCSBSASC22222222−=+−+=−( ) ( ) =−+=(SASCSASCSO)( AC) 2. CP AC Có: ACP BSO( g. g) = 2 CP . BS = 2 SO . AC = AB22 − BC SO BS c) Đặt ABCDaBCADc=== ;. BSBCBS CPac . 22− Do = ==CBSPCMg gCM( . ) CMCPBCc 2 acac2222−+ =+=+=MBBCCMc 22cc Bài 4 (1 điểm) Cho các số thực abc, , ,x ,y ,z thỏa mãn 0,,1;x,y,z1 abc và abcxyz+++++= 6.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Mabcxyz=+++++222222 . Lời giải Dễ thấy: 222 Maxbzcz +++++( ) ( ) ( ) và abcxyz+++++= 6 Do đó, biểu thức M đạt giá trị lớn nhất khi biểu thức NABCBCA=++++= 222 B C,A6;,,1 đạt giá trị lớn nhất. Dễ suy ra được rằng: 1 ABC , , 4 Ta lại có đánh giá ( AAAA−− −14054)( ) 2 Suy ra NABC ++−=51218( ) Tại (A,B,C) bằng hoán vị của (1 ,1 ,2 ) ta được N =18 Vậy giá trị lớn nhất của M là 18 đạt được tại abc= = = 0 và ( x y,, z ) bằng hoán vị của (1 ,1 ,2 )  HẾT 