Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Việt Trì (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Việt Trì (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có: 03 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (16 câu; 8,0 điểm) Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và tự luận) trên tờ giấy thi Câu 1. Giá trị của a để đa thức x2023 − 3 xa− chia hết cho đa thức x –1 là A. 1. B. –1. C. 2. D. –2. Câu 2. Cho đa thức f( x) =++− ax32 bx10 x 4 và gx( ) = x2 +− x 2 biết rằng fx( ) chia hết cho gx( ) khi đó (ab; ) bằng A. (−−4; 2) . B.(2;− 8) . C. (−−2; 8) . D.(−2;8) . 2 (a −1) 12−+aa23 4 1 aa + 4 Câu 3. Rút gọn biểu thức P = −+: ta được 2 32−− 31aa+−( ) a1 aa 14 4a 4a A. − với aa≠≠0; 1. B. với aa≠0; ≠− 1. a2 + 4 a2 + 4 4a 4a C. với aa≠≠0; 1. D. với aa≠≠0; 1. a2 + 4 a2 − 4 25nn2 −+ 97 7 Câu 4. Gọi A là tập hợp các giá trị nguyên của n để biểu thức nhận giá trị n − 4 nguyên. Số các phần tử dương của A bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 1 ax− b Câu 5. Biết 1.+= Giá trị của abc22+− bằng 1 + 1+ cx 1 1 1+ x A. 11. B. 3. C. 15. D. 9. Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình ( x+234)( − xx) +( 2 ++= 4 x 4) 0 bằng 1 1 11 11 A. − . B. . C. − . D. . 3 3 3 3 xa++ x5 Câu 7. Giá trị của a nguyên dương để phương trình +=2 có nghiệm x =10 bằng x−−5 xa A. 5. B. 10. C. 15. D. 20. 6x++ 35 x 3 2 xm − 1 Câu 8. Giá trị của m để phương trình −=+ có nghiệm là 4 6 3 12 A. −7. B. 12. C. −12. D. 7. Câu 9. Hình thang ABCD có AB //CD; A= 3 D ; B −=° C 30 . Khi đó tổng AB+  bằng A. 180° . B. 210°. C. 240° . D. 270° . Câu 10. Cho tứ giác ABCD, gọi EFGH,,, theo thứ tự là trung điểm của AB,,,. BC CD DA Tứ giác EFGH là hình vuông khi tứ giác ABCD có điều kiện là A. BD⊥= AC,. BD AC B. BD⊥ AC. Trang 1/9
2. C. BD= AC. D. AC= BD, AB //CD. Câu 11. Cho tam giác ABC có AB: AC = 4:5 và D là chân đường phân giác trong của góc A (tham khảo hình vẽ bên). Nếu BC = 27 thì BD22+ 2. CD bằng A.389. B.369. C.513. D.594. Câu 12. Cho ∆ABC, một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại D và E . Hệ thức nào sau đây là đúng? AB CE AD CE CA CE A. +=1. B. +=1. C. +=1. D. AD CA AB CA AB CA AD CA +=1. AB CE Câu 13. Cho hình thang ABCD có đáy AB,, CD gọi M là trung điểm của cạnh bên AD . Khi S đó MBC bằng SABCD 1 1 2 1 A. ⋅ B. ⋅ C. ⋅ D. ⋅ 3 2 3 4 Câu 14. Cho hình thang vuông ABCD có AD==°=° 90 , C 45 , AB = 2 cmCD , = 4 cm . Diện tích của hình thang vuông ABCD là A. 3cm2 . B. 8cm2 . C. 4cm2 . D. 6cm2 . Câu 15. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B, hai bến cách nhau 18km hết 1 giờ 30 phút. Biết vận tốc dòng nước chảy là 2km h thì vận tốc thực của ca nô (vận tốc khi dòng nước yên lặng) là A. 12km h . B. 10km h . C. 8.km h D. 18km h . Câu 16. Lớp 8D có 34 em đi học phụ đạo ba môn: Toán, Ngữ văn, tiếng Anh. Có 12 em đi học Toán, số em đi học tiếng Anh nhiều gấp 3 lần số em đi học Ngữ văn. Trong đó có 5 em vừa đi học tiếng Anh vừa đi học Toán, 4 em vừa đi học tiếng Anh vừa đi học Ngữ văn, 3 em vừa đi học Toán vừa đi học Ngữ văn, 2 em đi học cả ba môn nói trên. Số em đi học tiếng Anh bằng A. 24 . B. 8. C. 16. D. 27 . II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A=++ nn( 1)( 2 n 1)  6. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2 − 3 xy + 17 x − 4 y += 5 0. c) Chứng minh tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương. Câu 2: (4,0 điểm) a) Đa thức fx() khi chia cho x +1 dư 4, khi chia cho x2 +1 dư 23x + . Tìm phần dư 2 khi chia fx() cho (xx++ 1)( 1). Trang 2/9
3. xyz abc abc222 b) Cho ++=0 và ++=2 . Tính giá trị của biểu thức: P = + +⋅ abc xyz xyz2 22 c) Giải phương trình: ( xxxx−−++=2)( 3)( 6)( 9) 140 x2 . Câu 3: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA′′′,,; BB CC H là trực tâm. HA''' HB HC a) Tính tổng ++⋅ AA''' BB CC b) Gọi AI là phân giác của ∆ABC;, IM IN thứ tự là phân giác của AIC và AIB. Chứng minh rằng: AN BI CM= BN IC AM . ()AB++ BC CA 2 c) Tìm điều kiện của ∆ABC để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. AA'''22++ BB CC 2 Câu 4: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương xyz, , thỏa mãn 4yx++= 4 yz 3 xz 3. xyz 2()(2)(2)xy++222 y z zx + Chứng minh rằng: ++≥24. 23x+ y 2 yz ++ z 2 x Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./. Trang 3/9
4. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VIỆT TRÌ LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm có 06 trang ) A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: ( 16 câu; 8,0 điểm; mỗi câu đúng 0,5 điểm) Câu Đáp án Câu Đáp án 1 D 9 C 2 A 10 A 3 C 11 D 4 C 12 B 5 A 13 B 6 A 14 D 7 C 15 B 8 D 16 A II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A=++ nn( 1)( 2 n 1) 6. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2 − 3 xy + 17 x − 4 y += 5 0. c) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương. Ý Đáp án Điểm a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A=++ nn( 1)( 2 n 1) 6. A= nn( +1)( 2 n += 1) nn ( + 1)(2 n −+ 2 3) 0,25 a) (1,0 đ) A=2( n − 1) nn ( ++ 1) 3 nn ( + 1) 0,25 2(n−+ 1) nn( 1) 6 0,25 Ta có:  ⇒ A6 3nn (+ 1) 6  Vậy với mọi số nguyên n thì A=++ nn( 1)( 2 n 1) 6. 0,25 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2 − 3 xy + 17 x − 4 y += 5 0. 6x2 − 3 xy + 17 x − 4 y += 5 0 ⇔6x2 +− 8 x 3 xy −++= 4 y 9 x 12 7 0,25 ⇔2xx (3 +− 4) yx (3 ++ 4) 3(3 x += 4) 7 ⇔(3x + 4)(2 xy −+ 3) = 7 Lập bảng: 34x + 7 1 −1 −7 0,25 23xy−+ 1 7 −7 −1 Trang 4/9
5. Ý Đáp án Điểm b) x 1 −1 5 −11 − (1,0 đ) 3 3 y 4 −6 20 −10 3 3 0,25 Vì xy, ∈ Z nên phương trình có nghiệm ( xy,)∈{( −− 1; 6) ,( 1; 4)} . 0,25 Vây phương trình có nghiệm ( xy,)∈{( −− 1; 6) ,( 1; 4)} . c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương. Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: nn,++ 1, n 2, n + 3( n ∈ N) . 0,25 Ta có nnnn( ++ 1)( 2)( ++=++++ 3) 1 nnnn.( 3( 1)( 2) 1 0,25 c) = (nnnn22 + 3)( +++ 3 2) 1 (*) (1,0 đ) Đặt n2 +=3() n tt ∈ N thì (*)=tt ( + 2) += 1 t22 + 2 t += 1 ( t + 1) . 2 0,25 ⇒nn( + 1)( n + 2)( n + 3) += 1 (n2 + 3 n + 1) . Vì nN∈ nên nn2 +31 +∈ N . Vậy nn( + 1)( n + 2)( n ++ 3) 1 là số chính 0,25 phương. Câu 2: (4,0 điểm) a) Đa thức fx() khi chia cho x +1 dư 4, khi chia cho x2 +1 dư 23x + . Tìm phần dư 2 khi chia fx() cho (xx++ 1)( 1). xyz abc abc222 b) Cho ++=0 và ++=2 . Tính giá trị của biểu thức: P =++ abc xyz xyz2 22 c) Giải phương trình : ( xxxx−−++=2)( 3)( 6)( 9) 140 x2 . Ý Đáp án Điểm a) Đa thức fx() khi chia cho x +1 dư 4, khi chia cho x2 +1 dư 23x + . Tìm phần dư khi chia 2 fx() cho (xx++ 1)( 1). + =>−= Ta có: fx( ) chia x 1 dư 4 f ( 1) 4. 0,25 Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng ax 2 ++bx c . 0,25 Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có : f(x) = (x + 1)(x22 + 1).q(x) + ax + bx + c = (x + 1)(x22 + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c a) 0,25 (1,5 đ) = (x + 1)(x22 + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a Mà fx( ) chia cho x2 +1 dư 2x + 3. Do đó, ta có: 0,5 Trang 5/9
6. Ý Đáp án Điểm  b = 2 bb= 22=   9 ca−=33 ⇔  ca −=⇔ c = 2 abc−+=46  ac +=  3 a =  2 39 Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: xx2 ++2 0,25 22 xyz abc abc222 b) Cho ++=0 và ++=2 . Tính giá trị của biểu thức: P =++ abc xyz xyz2 22 xyz b) Ta có: ++=⇔00bcx + acy + abz = abc 0,25 2 abc abc ++=⇔24 ++ = xyz xyz 0,5 a222 b c ab ac bc ⇔+++2 222. ++ =4 x y z xy xz yz a222 b c abz++ acy bcx ⇔+++2 222. =4 x y z xyz abc222 ⇔+++2.0 = 4 0,5 xyz2 22 b) abc222 (1,5 đ) ⇔++=4 xyz2 22 abc222 Vậy ++=4 xyz2 22 0,25 c) Giải phương trình: ( xxxx−−++=2)( 3)( 6)( 9) 140 x2 . ( xxxx−−++=⇔+−+−=2)( 3)( 6)( 9) 140 xxxxx22( 18)( 2 3 18) 140 x2 (1) = 2 ≠ x 0 không là nghiệm PT(1) chia 2 vế PT(1) cho x 0 0,25 22 218  18  ( xx+−7 18)( xx +−= 3 18) 140 x ⇒+− x 7  x +−= 3  140 xx   18 Đặt x− +=5 yy ,( ∈ R ) ta có phương trình : x 0,25 2  y =12 ( yy−2)( += 2) 140 ⇔ y = 144 ⇔  y = −12 c) *Với y =12 ta có phương trình (1,0 đ) 18 x−+=⇒−−=⇔−+−=5 12x22 7 x 18 0 x 9 xx 2 18 0 x 0,25 x = −2 ⇔+( xx2)( −=⇔ 90)  x = 9 Trang 6/9
7. Ý Đáp án Điểm *Với y = −12 ta có phương trình 18 x−+=−⇒+5 12x22 17 x −=⇔−+ 18 0 xx 18 x −= 18 0 x x =1 0,25 ⇔−( xx1)( + 18) =⇔ 0  x = −18 Vậy S =−−{ 18; 2;1; 9} Câu 3:(4,0điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA′′′,,; BB CC H là trực tâm. HA''' HB HC a) Tính tổng ++⋅ AA''' BB CC b) Gọi AI là phân giác của ∆ABC;, IM IN thứ tự là phân giác của AIC và AIB. Chứng minh rằng: AN BI CM= BN IC AM . ()AB++ BC CA 2 c) Tìm điều kiện của ∆ABC để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. AA'''22++ BB CC 2 Ý Đáp án Điểm A C’ B’ x H N M I A’ C B D 1 .HA '. BC SHBC 2 HA' = = ; 0,5 S 1 AA' ABC .AA '. BC a) 2 (1,5 đ) S HC ' S HB' Tương tự: HAB = ; HAC = SABC CC ' SABC BB' 0,5 HA''' HB HCSS S ++ =HBC +HAB +HAC =1 0,5 AA''' BB CC SABC S ABC S ABC Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC =;; = = 0 , 5 IC AC NB BI MA AI Trang 7/9
8. Ý Đáp án Điểm A C’ B’ x H N M I A’ C B D BI AN CM AB AI IC AB IC . .= = . = 1 b) IC NB MA AC BI AI AC BI 0,5 (1,5đ) ⇒=BI. AN . CM BN IC AM ⇒=BI. AN . CM BN IC AM 0,5 Vẽ Cx⊥ CC’ . Gọi D là điểm đối xứng của A quaCx - Chứng minh được BAD vuông, CD = AC , AD = 2 CC ’ 0,25 - Xét 3 điểm BCD, , ta có: BD ≤+ BC CD - ∆BAD vuông tại A nên: AB22+= AD BD 2 2 ⇒ AB22+ AD ≤+ ( BC CD) 22 2 0,25 AB+ 4 CC ’ ≤+( BC AC) 2 4CC ’22 ≤+( BC AC) – AB c 2 22≤+ (1,0đ) Tương tự: 4AA ’ ( AB AC) – BC 2 4BB ’22 ≤+( AB BC) – AC 22 2 2 - Chứng minh được : 4( AA ’+ BB’ + CC ’) ≤( AB ++ BC AC) 0,25 ()AB++ BC CA 2 ≥ 4 ⇔ AA'''22++ BB CC 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC , AC = AB , AB = BC ⇔ AB = AC = BC 0,25 ⇔ ∆ABC đều Câu 4: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương xyz, , thỏa mãn 4yx++= 4 yz 3 xz 3. xyz 2()(2)(2)xy++222 y z zx + Chứng minh rằng: ++≥24. 23x+ y 2 yz ++ z 2 x Ý Đáp án Điểm 2 Trước hết áp dụng BĐT (A + B) ≥ 4AB 2()(2)(2)xy++222 y z zx + 0,25 Đặt P = ++⋅ 23x+ y 2 yz ++ z 2 x 8xy 88 yz xz 8 xyz 8 xyz 8 xyz PQ≥ ++= + + = 0,25 23x+ y 2 y ++ z z 2 x 2 xz + 3 yz 2 xy + xz yz + 2 xy Trang 8/9
9. 4. (1,0 đ) 111 9 Áp dụng BĐT với ABC,, dương ++≥ A B C ABC++ 9 72xyz 72 xyz Q≥=8 xyz . ==24 0,25 232xz+ yz + xy +++ xz yz 2 xy 443 xy + yz + xz 3 xyz PQ≥≥24 x = y = 2z x = y = 5   ⇔ + + = ⇔ Dấu "=" xảy ra 4xy 4yz 3xz 3xyz  5 0,25  z = 2xz + 3yz = 2xy + xz = yz + 2xy  2 HẾT Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic. - Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC. - Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số. Trang 9/9