Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 năm 2018 - Sở GD và ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 năm 2018 - Sở GD và ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 07.3.2018 Môn thi: Toán Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài 1. (2 điểm) Gọi a là số thực sao cho 3 số a log2 2018; a log4 2018 và a log8 2018 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tính công bội của cấp số nhân này. Bài 2. ( 4 điểm) Cho hàm số f() x x32 x mx với tham số thực m. Biết rằng hàm số có một giá trị cực trị là y 1. Tìm giá trị cực trị còn lại của hàm số. Bài 3. ( 4 điểm) Cho tứ diệnABCD có AB CD 8; AD BC 5 và AC BD 7. a) Tính thể tích của tứ diệnABCD . b) Gọi M là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CMD ). Bài 4. ( 3 điểm) Trong một phòng học, có 36 cái bàn rời nhau được đánh ốs từ 1 đến 36, mỗi bàn dành cho 1 học sinh. Các bàn được xếp thành một hình vuông có kích thước 66. Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh của lớp, trong đó có hai em tên là Hạnh và Phúc, vào các bàn. Tính xác suất để Hạnh và Phúc ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau (theo chiều ngang hoặc chiều dọc). Bài 5. ( 3 điểm) Một chậu nước hình nón cụt đều (hình vẽ) có chiều cao 3 dm , bán kính 37 đáy lớn là 2 dm và bán kính đáy nhỏ là 1 dm . Cho biết thể tích nước bằng 189 thể tích của chậu, hãy tính chiều cao của mực nước. Bài 6. ( 4 điểm) Cho hàm số f xác định, có đạo hàm trên thỏa mãn: f22( x ) ( x 2 x 4) f ( x 2) và f( x ) 0, x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0. HẾT
2. ĐÁP ÁN Bài 1. (2 điểm) Gọi a là số thực sao cho 3 số a log2 2018; a log4 2018 và a log8 2018 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tính công bội của cấp số nhân này. Giải. Gọi q là công bội. Ta có 11 a log 2018 a log 2018 log 2018 log 2018 1 q 4 8 4 8 23 a log 2018 a log 2018 log 2018 log 2018 1 3 2 4 2 4 1 2 Bài 2. ( 4 điểm) Cho hàm số f() x x32 x mx với tham số thực m. Biết rằng hàm số có một giá trị cực trị là y 1. Tìm giá trị cực trị còn lại của hàm số. Giải. Ta có f( x ) 3 x2 2 x m 1 Để hàm số đã cho có hai cực trị thì 1 3mm 0 . 3 Chia đa thức fx() cho fx()ta được: 1 1 6mm 2 x3 x 2 mx(3 x 2 2 x m ) ( x ) x . 3 3 9 9 Gọi a là điểm cực trị của hàm số tương ứng với giá trị cực trị là 1 , thay vào đẳng thức trên, ta 6m 2 m m 9 có 1 aa . 9 9 6m 2 Do a là nghiệm của fx( ) 0 nên 2 mm99 3 2m 0 ( m 1)(4 m2 5 m 23) 0 m 1. 6mm 2 6 2 Với m 1 thì a 1 1 5 Suy ra điểm cực trị còn lại là x và giá trị cực trị còn lại cần tìm là y . 3 27
3. Bài 3. ( 4 điểm) Cho tứ diệnABCD có AB CD 8; AD BC 5 và AC BD 7. a) Tính thể tích của tứ diệnABCD . b) Gọi M là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CMD ). A M G B D E C F a) Từ các ỉđ nh của tam giác BCD ta kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng tạo thành tam giác EFG có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác BCD . Các tam giác AEF,, AFG AGE là các tam giác vuông tại A nên ta có: AE2 AF 2 EF 2 196 AF2 AG 2 FG 2 100 AE2 AG 2 EG 2 256 Giải hệ trên ta được : AE 4 11 , AG 45,AF 25 1 80 11 Thể tích khối chóp AEFG. : AE AF AG 63 20 11 Thể tích tứ diện ABCD : 3 BC2 CA 2 AB 2 b) Ta có CM DM 21 24 Suy ra diện tích tam giác CMD : 45 10 11 55 Suy ra khoảng cách từ A đến mp()BCD : . 45 2
4. Bài 4. ( 3 điểm) Trong một phòng học, có 36 cái bàn rời nhau được đánh ốs từ 1 đến 36, mỗi bàn dành cho 1 học sinh. Các bàn được xếp thành một hình vuông có kích thước 66. Cô giáo xếp tùy ý 36 học sinh của lớp, trong đó có hai em tên là Hạnh và Phúc, vào các bàn. Tính xác suất để Hạnh và Phúc ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau (theo chiều ngang hoặc chiều dọc). Giải. Gọi A là biến cố Hạnh và Phúc ngồi ở hai bàn xếp cạnh nhau. Số cách sắp xếp 36 học sinh vào 36 cái bàn của lớp cũng chính là số phần tử của không gian mẫu và là 36! Ta sẽ tính số trường hợp Hạnh và Phúc ngồi cạnh nhau: - Nếu Hạnh và Phúc ngồi cạnh nhau theo chiều ngang: có 6 cách chọn dãy bàn nằm ngang để 2 bạn ngồi cạnh, có 5 cách chọn cặp vị trí cho Hạnh và Phúc (vị trí 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6) và hoán đổi vị trí cho 2 bạn là 2! nên số cách xếp là 6 5 2! - Nếu Hạnh và Phúc ngồi cạnh nhau theo chiều dọc: tương tự cũng có 6 5 2! cách. Do đó, tổng số cách xếp chỗ cho 2 bạn Hạnh và Phúc ngồi cạnh (theo chiều ngang hoặc chiều dọc) là: 2 6 5 2! Số cách xếp trong trường hợp này là: A 2 6 5 2! 34! 2 6 5 2! 34! 2 Vậy xác suất cần tính là PA() . 36! 21 Bài 5. ( 3 điểm) Một chậu nước hình nón cụt đều (hình vẽ) có chiều cao 3 dm , bán kính 37 đáy lớn là 2 dm và bán kính đáy nhỏ là 1 dm . Cho biết thể tích nước bằng 189 thể tích của chậu, hãy tính chiều cao của mực nước. Thể tích của chậu: V .3 1 4 2 7 . 3 Gọi chiều cao mực nước là 3xx ( 0) . Ta có bán kính của mặt nước là : 1 x 37 Ta có phương trình : 3x 1 (1 x )2 (1 x ) 7 3 189 1 27x32 81 x 81 x 37 0 x . Vậy chiều cao của mực nước là 1 dm . 3
5. Bài 6. ( 4 điểm) Cho hàm số f xác định, có đạo hàm trên thỏa mãn f22( x ) ( x 2 x 4) f ( x 2) và f( x ) 0, x . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0. Giải. Thay x 0 và x 2, ta có ff2(0) 4 (2) và ff2(2) 4 (0). Suy ra f42(0) 16 f (2) 64 f (0) f (0) 4 và f(2) 4. Đạo hàm hai vế của đẳng thức đã cho, ta có 2()()(2fxfx x 2)( fx 2)( xx2 2 4) fx ( 2). Lại thay x 0 và x 2, ta có 2f (0) f (0) 2 f (2) 4 f (2) và 2f (2) f (2) 2 f (0) 4 f (0) hay 2ff (0) 2 (2) và 2ff (2) 2 (0). Giải hệ này, ta được f (0) 2 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là f( x ) 2( x 0) 4 hay f( x ) 2 x 4.