Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ KHÓA THI NGÀY 29/3/2018 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:150 phút ( Đề thi gồm 0 1 trang ) (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (3 điểm) 22 441 Cho hai số a , b thỏa các điều kiện: ab 1, ab . 2 Tính giá trị của biểu thức P a2018 b 2018 . Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình: 5xx 2 3 6 A Bài 3. (2 điểm) Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có diện tích 4 cm2 . Các điểm ABCD,,, là đỉnh của các hình vuông. Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình B vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn CE. O C E D Bài 4. (4 điểm) 1. Cho 2 số thực xy, . Chứng minh rằng (1x2 )(1 y 2 ) 2 x (1 y 2 ) 2. Các số ABCDACBCADBD;;;;;;; là 8 số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 8. . Biết A là số lớn nhất trong các số ABCD,,, . Tìm A. Bài 5. (5 điểm) 1. Cho nửa đường tròn ()O đường kính AB4 cm . D Góc DAB 300 và cung DB là một phần của đường tròn tâm A. Tính diện tích phân tô đậm. A O B 2. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I. Đường thẳng qua I vuông góc vớiAD cắt cạnhBC tại N. Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt cạnh AD tại M . Chứng minh rằng nếu AB CD2 MN thì ABCD là hình thang. Bài 6. (3 điểm) Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là v km/ h . Nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên, sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng tốc thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48 phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố. HẾT
2. ĐÁP ÁN Bài 1. (3 điểm) 22 441 Cho hai số a , b thỏa các điều kiện: ab 1, ab . 2 Tính giá trị của biểu thức P a2018 b 2018 Giải. 1 Từ giả thiết ta có: 2(a4 b 4 ) ( a 2 b 2 ) 2 ( a 2 b 2 ) 2 0 a 2 b 2 (2đ) 2 11 P 2( )1009 (1đ) 2 21008 Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình: 5xx 2 3 6 Giải. Đặt a5 x , b 3 x . Ta có ab26 và ab228 (0,5đ) 14 5b2 24 b 28 0 b 2 b (1đ) 5 • bx21 (0,5đ) 14 121 • bx (0,5đ) 5 25 121 Thử lại ta có 2 nghiệm 1 và (0,5đ) 25 Bài 3. (2 điểm) Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có diện tích 4 cm2 . Các điểm ABCD,,, là đỉnh của các hình vuông. Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn CE. Giải. Độ dài mỗi cạnh hình vuông nhỏ : 2 cm . (0,5đ) 9.4 Diện tích của mỗi phần : 18 cm2 . (0,5đ) 2 Diện tích tam giác AOE: 18 4 22 cm2 . (0,5đ) 44 AOOE. 44 OE5,5 cm CE5,5 2 3,5 cm . (0,5đ) 8 Bài 4. (4 điểm) 1. Cho 2 số thực xy, . Chứng minh rằng (1x2 )(1 y 2 ) 2 x (1 y 2 ) Giải. (1x2 )(1 y 2 ) 2 x (1 y 2 ) x2 y 21 x 2 y 2 2 x 2 xy 2 0 (0,5đ) (x 1)2 y 2 ( x 1) 2 0 (Đúng với mọi xy, ). (1,5đ)
3. 2. Các số ABCDACBCADBD;;;;;;; là 8 số tự nhiên khác nhau từ1 đến 8 . Biết A là số lớn nhất trong các số ABCD,,, . Tìm A. Giải. Ta có 3(ABCD ) 1 2 3 8 36 ABCD 12 (1đ) Do BCD 1 2 3 6 nên A 6. (0,5đ) Bằng cách chọn BCD3, 1, 2 ta kết luận A 6. (0,5đ) Bài 5. (5 điểm) 1. Cho nửa đường tròn ()O đường kính AB4 cm . Góc DAB 300 và cung DB là một phần của đường tròn tâm A . Tính diện tích phân tô đậm. Giải. Gọi E là giao điểm của AD và ()O . Bán kính đường tròn ()O : R2 cm. 13RR2 Ta có diện tích tam giác AOE : R 3. (0,5đ) 2 2 4 RR22.60 Diện tích hình quạt cung BE : (0,5đ) 360 6 (2RR )22 .30 Diện tích hình quạt cung BD : (0,5đ) 360 3 R2 Diện tích nửa hình tròn: (0,5đ) 2 RRRR2 2 23 2 Diện tích phần tô đậm: 2 2 3 4 6 RRR2 23 2 ( 3) 2,82 cm2 (0,5đ) 2 2 2 2. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại I. Đường thẳng qua I vuông góc vớiAD cắt cạnhBC tại N . Đường thẳng qua I vuông góc với BC cắt cạnh AD tại M . Chứng minh rằng nếu AB CD2 MN thì ABCD là hình thang. Giải. B K N A C I H J M D
4. Ta có BIK BCI MID MDI MD MI (1) (0,25đ) CIK CBI MIA MAI MA MI (2) (0,25đ) Từ (1), (2) MA MD (0,25đ) Chứng minh tương tự ta có NB NC (0,25đ) Gọi J là trung điểm của BD . AB CD2 MN 2 MJ 2 NJ 2 MN MJ NJ MN (1đ) Suy ra MJN,, thẳng hàng AB CD (0,5đ) Bài 6. (3 điểm) Một ô tô dự định đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi là v km/ h . Nếu vận tốc ô tô đó tăng thêm 20% thì nó sẽ đến B sớm hơn dự định 1 giờ. Tuy nhiên, sau khi đi được 120 km với vận tốc v , ô tô tăng tốc thêm 25% và đến B sớm hơn dự định 48 phút. Tính quãng đường giữa hai thành phố. Giải. 6 5 Vận tốc tăng thêm 20% tức gấp vận tốc dự định nên thời gian đi được bằng thời gian dự 5 6 định. (0,5đ) 1 Do đó thời gian dự định là 1 giờ ,suy ra thời gian dự định là 6 giờ. (0,5đ) 6 5 4 Vận tốc tăng thêm 25% tức gấp vận tốc dự định nên thời gian đi quãng đường sau bằng 4 5 thời gian dự định đi trong quãng đường sau. (0,5đ) 1 Do đó thời gian dự định đi trong quãng đường sau là 48 phút ,suy ra thời gian dự định đi 5 quãng đường sau là 4 giờ. (0,5đ) Vì thế thời gian đi trong 120 km là 2 giờ. Vậy vận tốc dự định là 60 km / h . (0,5đ) Quãng đường giữa 2 thành phố là 60 km / h 6 h 360 km . (0,5đ)