Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI MÔN:TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(2,0 điểm). x+3 x + 2 xx −− 59 x − 3 −+ Cho số thực 3x4<≠ và biểu thức A= :. x−21 x + xx −− 22x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Câu 2(1,0 điểm). 2 Cho góc nhọn α thoả mãn tanα = . 3 cos4α++s in 22 αα .( cos 1) Hãy tính giá trị biểu thức B= . 3 2.cos4α+− 2sc in 22 αα . os sin 2 α 5 Câu 3(1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy, ) thoả mãn 2x2++=++− 4 xy 4 y 22 xy 18 x 16 y 39 Câu 4(1,0 điểm). 111 1 1 1 1 1 Cho số k thoả mãn + + ++ =k. + + ++ 1.2 3.4 5.6 2019.2020 1011 1012 1013 2020 Chứng minh rằng: k ∈ . Câu 5(1,0 điểm). Giải phương trình 1926−+xxx 1954 −+ 1971 −= 23. Câu 6(1,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Trên đoạn HB lấy M và trên đoạn HC lấy N sao cho AMC = ANB = 90 °. Chứng minh rằng AM = AN. Câu 7(1,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn. Gọi D là trung điểm của BC; E là điểm bất kỳ trên cạnh AC. Gọi M là giao điểm của AD với BE. Kẻ đường thẳng CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng hai đường thẳng EF và BC song song với nhau. Câu 8(1,0 điểm). Cho ab, ,c là độ dài các cạnh của một tam giác bất kỳ. abc Chứng minh rằng: ++≥3. bca+− cab +− abc +− Câu 9(1,0 điểm). Trong hình vuông cạnh bằng 18 cho 1945 điểm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 7 điểm trong số 1945 điểm đã cho. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9, NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN:TOÁN ( Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. 4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. II) Đáp án và thang điểm: Câu 1 (2,0 điểm). x+3 x + 2 xx −− 59 x − 3 Cho số thực x thoả mãn 3x4<≠và biểu thức A= −+ :. x−21 x + xx −− 22x a) Rút gọn biểu thức A. Nội dung trình bày Điểm ( x+3)( x +− 1) ( x + 2)( x − 2) +( xx − 59 −) 2x Với 3x4<≠thì A= . ( xx−+21)( ) x − 3 0,5 xx+43 +−( x − 4) +− xx 59 − 2x =. xx−−23x− xx−−22 x 2 x = = xx−−23 x − x − 3 0,5 2x Vậy, với 3x4<≠ thì A.= x − 3 Nếu học sinh không nhắc lại điều kiện trước khi rút gọn thì trừ 0,25 điểm. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Nội dung trình bày Điểm 26x 6 Với 3x4<≠thì A= = 2xx −+ 3 ≥ 2 2 − 3. = 4 3. xx−−33 x − 3 0,5 6 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2x−= 3 ⇔( xx −3) =⇔= 3 6(TM). x − 3 0,5 Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 43 khi và chỉ khi x = 6. 2 Câu 2 (1,0 điểm). Cho góc nhọn α thoả mãn tanα = . 3 HDC_HSG Toán 9 Trang 1/4
3. cos4ααα++ sin 22 .cos( 1) Hãy tính giá trị biểu thức: B= . 3 2.cos4α+− 2sin 22 αα .cos sin 2 α 5 Nội dung trình bày Điểm Vì α là góc nhọn nên cosα > 0 0,25 22 2 2 cos4222αααα++ sin .cos sin cosααα .cos( ++ sin) sin α B= = Do đó: 330,25 2.cos4α+ 2sin 22 αα .cos − sin 2 α 2cos 2 α .( cos 2 α+− sin 2 α) sin 2 α 55 sin2α 22 1+ 2 cosαα++ sin cos2α 1 tan α B = = 2 = 0,25 22333 sin α 2 2cosαα−− sin 2.− 2 .tan α 555 cos2α 2 2 4 7 1+   1+  2 3  3 35 Thay tanα = , ta được B.= =3 = = 0,25 2 34 6 3 322.− 18 2.−   5 3 53 5 Câu 3(1,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên ( xy, ) thoả mãn: 2x2++=++− 4 xy 4 y 22 xy 18 x 16 y 39 Nội dung trình bày Điểm Ta có: 2xxyyxy2++=++−⇔− 4 4 22 18 xy 16 39 xyy22 4 − 2 xx 2 −+ 8( 10 x −− 40) ( 4 xyy − 16) += 1 0 ( ) ( ) 0,25 ⇔−( x4) y2 − 2 xx( −+ 41044) ( x −−) yx( −+= 410) Nếu xx−=⇔=40 4 thì dẫn đến 1 = 0 (vô lý). Vậy loại x = 4. 0,25 1 Nếu xx−≠⇔≠40 4 thì ta được y2 −−+=−4 yx 2 10 . − x 4 0,25 1 Vì y2 −4 yx − 2 +∈ 10 nên ∈⇒= xx3; = 5. x − 4 Với x = 3 thì yy=1; = 3. Với x = 5 thì y =±∉23. 0,25 Vậy các cặp số ( xy; )cần tìm là (3;1) ,( 3; 3) . Câu 4(1,0 điểm). 111 1 1 1 1 1 Cho số k thoả mãn + + ++ =k. + + ++ . 1.2 3.4 5.6 2019.2020 1011 1012 1013 2020 Chứng minh rằng: k ∈ . Nội dung trình bày Điểm 1 1 1 1 11111 1 1 Ta có: + + ++ =−+−+−++1 − 0,25 1.2 3.4 5.6 2019.2020 2 3 4 5 6 2019 2020 HDC_HSG Toán 9 Trang 2/4
4.  11 1 111 1 =1 ++++  − ++++   3 5 2019 2 4 6 2020  11 1 111 1 111 1 =1 ++++ + ++++ − 2. ++++ 3 5 2019 2 4 6 2020 2 4 6 2020 0,5 11 1 11 1 =++++1 − 1 ++++ 2 3 2020 2 3 1010 11 1 1 = + ++ + 1011 1012 1013 2020 Từ đó suy ra k =1. Vậy k ∈ . 0,25 Câu 5(1,0 điểm). Giải phương trình 1926−+xxx 1954 −+ 1971 −= 23. Nội dung trình bày Điểm Điều kiện xác định x ≤1926 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với 0,25 ( 1926−−xxx 6) +( 1954 −− 8) +( 1971 −− 9) = 0 2 22 1926−−xxx 6222 1954 −− 8 1971 −− 9 ⇔++=0 0,25 1926−+xxx 6 1954 −+ 8 1971 −+ 9 111 ⇔−(1890 x) + + =0 1926−+xxx 6 1954 −+ 8 1971 −+ 9 0,25 111 ⇔(1890 −=x) 0 (Vì ++>0 ) 1926−+xxx 6 1954 −+ 8 1971 −+ 9 ⇔=x 1890 (thỏa mãn). Vậy x =1890. 0,25 Câu 6 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Trên đoạn HB lấy M và trên đoạn HC lấy N sao cho AMC = ANB = 90 °. Chứng minh AM = AN. Nội dung trình bày Điểm A D I H N M C B Gọi hai đường cao của tam giác ABC là BD và CI. Xét tam giác AMC vuông tại M với đường cao MD và tam giác ANB vuông tại N với 0,5 đường cao NI, ta có: AM22= AD.AC; AN= AI.AB. Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACI vuông tại I có = nên BAD CAI 0,5 ∆∆ABD# ACI , do đó AD.AC= AI.AB ⇒ AM22 = AN ⇒= AM AN (đpcm). Câu 7 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi D là trung điểm của BC; E là điểm bất kỳ trên cạnh AC. Gọi M là giao điểm của AD với BE. Kẻ đường thẳng CM cắt AB tại F. HDC_HSG Toán 9 Trang 3/4
5. Chứng minh rằng: Hai đường thẳng EF và BC song song với nhau. Nội dung trình bày Điểm Q A P F E M B D C Qua điểm A, kẻ đường thẳng song song với BC và cắt các đường thẳng BM, CM lần lượt tại P, Q. 0,5 DB EC FA AP BC AQ Khi đó, áp dụng định lý Ta-lét ta có: . .= . .= 1*( ) DC EA FB AQ AP BC EA FA Mà BD= CD nên = 0,25 EC FB Vậy: EF và BC song song với nhau 0,25 Lưu ý: Học sinh dùng định lý Ce-va để chứng minh (*), nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. Câu 8(1,0 điểm). Cho ab, ,c là độ dài các cạnh của một tam giác bất kỳ. abc Chứng minh rằng: ++≥3. bca+− cab +− abc +− Nội dung trình bày Điểm Vì ab, ,c là độ dài các cạnh của một tam giác nên bca+−>0; cab +−> 0; abc +−> 0 Đặt xbcay=+−;; =+− cabz =+− abc 0,25 yz+++ zx xy thì x, y, z là các số dương và abc=;; = = . 222 a b c yz+++ zx xy Khi đó: + + =++ 0,25 bca+− cab +− abc +− 222 x y z 1 yzzxxy = +++++ ≥3 0,25 2 xxyyzz Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xyz==⇔== abc 0,25 Câu 9 (1,0 điểm). Trong hình vuông cạnh bằng 18 cho 1945 điểm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường tròn bán kính 1 chứa ít nhất 7 điểm trong số 1945 điểm đã cho. Nội dung trình bày Điểm Ta phân chia hình vuông đã cho thành 182 = 324 hình vuông đơn vị (có cạnh bằng 1). 0,25 Vì có 1945 điểm và 324 hình vuông đơn vị nên tồn tại 1 hình vuông đơn vị chứa ít nhất 1945 0,5 +=17 điểm trong số các điểm đã cho. 324 2 Đường tròn ngoại tiếp hình vuông đơn vị có bán kính bằng <1 chứa ít nhất 7 điểm 0,25 2 HDC_HSG Toán 9 Trang 4/4
6. nói trên. Từ đó suy ra bài toán được chứng minh. Hết . HDC_HSG Toán 9 Trang 5/4