Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bình Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bình Dương (Có đáp án)

1. ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC:2016-2017 Câu 1: (5 điểm) a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình xy 2017 b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. Câu 2: (4 điểm) Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ()OR; , MOR (;) . Chứng minh rằng: MA2 MB 2 MC 2 6 R 2 Câu 3: (3 điểm) x2 1 a) Giải phương trình: 1 39 x2 4 3 9 x2 1 (xy ) 1 5 xy b) Giải hệ phương trình: 1 (xy22 ) 1 49 22 xy Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh với mọi số a,,, b c d ta luôn có: (a2 c 2 )( b 2 d 2 ) ( ab cd ) 2 ab22 1 b) Cho ab,0 chứng minh rằng: (4a 3 b )(3 a 4 b ) 25 Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi MNPQ,,, lần lượt là trung điểm của AB,,, BC CA DA. Chứng minh 1 rằng: S MP. NQ ( AB CD )( AD BC) ABCD 4 Câu 6: (2,0 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ?
2. LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 SGD BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2016-2017 Người giải đề: Triệu Tiến Tuấn Câu 1: (5 điểm) a) Tìm tất cả các ngiệm nguyên của phương trình xy 2017 b) Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng 82xxyy với xxyy là số chính phương. Lời giải a) Phương trình: x y 2017 ( x , y 0) x 20172 y 4034 y Do x, y Z y Z Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x a22; y (2017 a ) b) Ta có: xxyy 11 x 0 y là số chính phương nên x0 y 11 100 x y 11 99 x x y 11 xy 11 xy 11 xy 0 xy 0 xy 11 Ta có: xxyyxy 11 0 11(99 xxy ) 11(99 x 11) 112 (9 x 1) 91x là số chính phương. xy 74 Vậy xxyy 7744; xxyy 0000 Câu 2: (4 điểm) Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ()OR; , MOR (;) . Chứng minh rằng: MA2 MB 2 MC 2 6 R 2 Lời giải
3. A Giả sử M AC Dễ thấy: MA MC MB (trên MB lấy I sao cho MI MC , ta chứng minh: IB MA) M K I O Đặt: MA x;; MB y MC y x . Ta có: H AM2 BM 2 CM 2 x 2 y 2 ( xy ) 2 2( x 2 yxy 2 ) (1)C B x 3 Kẻ AH BM MH AH22 x 24 x Mà BH MB MH y 2 x BH MB MH y 2 31 AB2 AH 2 BH 2 x 2 y 2 x 2 xy x 2 y 2 xy (2) 44 Từ (1),(2) AM2 BM 2 CM 2 2 AB 2 2( R 3) 2 6 R 2 ( dpcm ) Câu 3: (3 điểm) x2 1 a) Giải phương trình: 1 39 x2 4 3 9 x2 1 (xy ) 1 5 xy b) Giải hệ phương trình: 1 (xy22 ) 1 49 22 xy Lời giải x2 1 a) Phương trình: 1 39 x2 4 3 9 x2 2 90 x 33 x Điều kiện: 2 3 9 x 0 x 0
4. 22 x2 11 3 9 xx 3 9 11 39 x2 4 3 9 x2 3 9 x 2 4 3 9 x 2 1 3 9 x2 1 4 3 9 x2 2 4 3 9 xx22 4 3 9 1 0 1 5 11 3 9 x2 9 x 2 x 2 2 2 4 11 x () tmdk 2 1 (xy ) 1 5 xy b) Hệ phương trình: dk: x , y 0 1 (xy22 ) 1 49 22 xy 11 11 xy 5 xy 5 xy xy 2 2 2211 11 xy 49 xy 53 22 xy xy 11 Đặt x a; y b ta được: xy a b 55 a b ba 7; 2 2 2 2 a b 53 2 b 10 b 28 0 ba 2; 7 1 x 2 x 1 a 2 x 7 3 5 b 7 1 y y 7 2 y 1 x 7 7 3 5 a 7 x x 2 b 2 1 y 2 y 1 y Câu 4: (3 điểm) a) Chứng minh với mọi số a,,, b c d ta luôn có: (a2 c 2 )( b 2 d 2 ) ( ab cd ) 2 ab22 1 b) Cho ab,0 chứng minh rằng: (4a 3 b )(3 a 4 b ) 25
5. Lời giải a) Ta có: (a2 c 2 )( b 2 d 2 ) ( ab cd ) 2 22 22 22 22 22 22 ab ad cb cd ab cd 2 abcd a2 d 2 c 2 b 2 20 abcd ad cb 2 0 luôn đúng. b) Ta có: ab22 1 25a22 25 b (4 a 3 b )(3 a 4 b ) (4a 3 b )(3 a 4 b ) 25 2 2 2 13(a b ) 25 ab 13( a b ) ab 0 ab22 1 Dấu “=” không xảy ra, vậy: (4a 3 b )(3 a 4 b ) 25 Câu 5: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi MNPQ,,, lần lượt là trung điểm của AB,,, BC CA DA. Chứng minh 1 rằng: S MP. NQ ( AB CD )( AD BC) ABCD 4 Lời giải Ta có: MP.2 NQ SMNPQ S ABCD A Gọi R là trung điểm của AC , ta có : 11 NR AB; QR CD 22 M 1 Suy ra: NQ NR QR () AB CD Q 2 R B 1 Tương tự: PM () AD BC 2 1 MP.NQ (AB CD )( AD BC ) N 4 1 S MP. NQ ( AB CD )( AD BC ) D P C ABCD 4 Câu 6: (2 điểm) Cho đa giác lồi có 12 cạnh a) Tìm số đường chéo b) Tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác đó ? Lời giải 12 12 3 a) Số đường chéo của đa giác là: 54 2
6. b) Nhận thấy rằng với mỗi cạnh của tam giác, ta lập được 10 tam giác mà mỗi tam giác thỏa mãn đề bài mà đa giác ban đầu có 12 cạnh nên số tam giác thỏa mãn đề bài là 10.12 120 Tuy nhiên nếu như tính theo cách trên thì các tam giác mà có 2 cạnh là 2 cạnh kề của đa giác đã cho được tính 2 lần Ta có số tam giác được tính 2 lần như trên là 12 tam giác nên số tam giác thỏa mãn đề bài thực chất là: 120 12 108 tam giác.