Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

1. ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Cho phương trình x2 mx 4 0. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm kép là A. 4; 4 . B. 4. C. 4. D. 16 . Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng có phương trình yx 5 và yx 5 bằng A. 70o. B. 30o. C. 90o. D. 45o . 3 10 6 3 3 1 2018 Câu 3: Cho x . Giá trị của biểu thức xx3 42 bằng 6 2 5 5 A. 2.2018 B. 2.2018 C. 0. D. 1. Câu 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2018; 1) và B( 2018;1). Đường trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là x x A. y . B. y . C. yx 2018 . D. yx 2018 . 2018 2018 Câu 5: Cho biểu thức P 2 x 8 x 4 2 x 8 x 4, khẳng định nào dưới đây đúng ? 1 A. P 2 với mọi x . B. P 2 với mọi x 1. 2 1 C. Px 2 2 1 với mọi x 1. D. Px 2 2 1 với mọi x 1. 2 Câu 6: Trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M , biết rằng M cách đều trục tung, trục hoành và đường thẳng yx 2. Hoành độ của điểm M bằng 1 A. 2 2. B. 2 2. C. . D. 2. 2 Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M 2018;2018 đến đường thẳng yx 2 bằng A. 2. B. 2. C. 4. D. 1. 2 Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A m;m - 10 . Khi m thay đổi thì 3 khẳng định nào dưới đây đúng ? A. Điểm A thuộc một đường thẳng cố B. Điểm A thuộc một đường tròn cố định. định. C. Điểm A thuộc một đoạn thẳng cố định. D. Điểm A thuộc đường thẳng y x10 .
2. Câu 9: Cho tam giác ABC có AB 3 cm , AC 4 cm và BC 5 cm . Kẻ đường cao AH, gọi IK, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác HAB và tam giác HAC. Độ dài của đoạn thẳng KI bằng A. 1,4 cm . B. 2 2 cm . C. 1,45 cm . D. 2 cm. Câu 10: Cho AB là một dây cung của đường tròn O; 1 cm và AOB 150o . Độ dài của đoạn thẳng AB bằng A. 2 cm . B. 2 3 cm. C. 1 5 cm. D. 2 3 cm. Câu 11: Cho hai đường tròn I3; và O;6 tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau cắt hai đường tròn đã cho tại B và C. Diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng A. 6. B. 12. C. 18. D. 20. Câu 12: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1. Gọi xy, lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và tam giác ABD. Giá trị của biểu thức 11 bằng xy22 3 1 A. 4. B. 2. C. . D. . 2 4 Câu 13: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn OR; đường kính AC và dây cung BD R 2. Gọi x, y , z , t lần lượt là khoảng cách từ điểm O tới AB, CD , BC , DA . Giá trị của biểu thức xy zt bằng 2 2 A. 22R2. B. 2R2. C. R2. D. R2. 2 4 Câu 14: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn ()I;2 cm và nội tiếp đường tròn O;6 cm . Tổng khoảng cách từ điểm O tới các cạnh của tam giác ABC bằng A. 8 cm . B. 12 cm . C. 16 cm . D. 32 cm . Câu 15: Nếu một tam giác có độ dài các đường cao bằng 12,15,20 thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng A. 5. B. 4. C. 3. D. 6 . Câu 16: Trên một khu đất rộng, người ta muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật để trồng rau an toàn, vật liệu cho trước là 60m lưới để rào. Trên khu đất đó người ta tận dụng một bờ rào AB có sẵn (tham khảo hình vẽ bên) để làm một cạnh hàng rào. Hỏi mảnh đất để trồng rau an toàn có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 400 m2 . B. 450 m2 . C. 225 m2 . D.550 m2 .
3. B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 17: (3,0 điểm). a) Cho a22 b c b c a 2018 với abc,, đôi một khác nhau và khác không. Tính giá trị của biểu thức c2 a b . b) Tìm tất cả các số nguyên dương abc,, thỏa mãn abc 91 và b2 ca. Câu 18: (3,5 điểm). 22 a) Giải phương trình x 2 x x 2 x 2 0. b) Hai vị trí A và B cách nhau 615 m và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ AB, đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m(tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét). Câu 19: (4,0 điểm). Cho đường tròn O và điểm A nằm ngoài O .Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với O (,BC là các tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A cắt O tại D và E ( AD AE ). Tiếp tuyến của O tại D cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC tại các điểm M và N. a) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng bốn điểm MENI,,, cùng thuộc một đường tròn T . b) Chứng minh rằng hai đường tròn O và T tiếp xúc nhau. c) Chứng minh rằng đường thẳng IT luôn đi qua một điểm cố định. Câu 20: (1,5 điểm). 3a b 3 b c 3 c a Chứng minh rằng abc 9 với abc,, là độ a2 ab b 2 bc c 2 ca dài ba cạnh của một tam giác. HẾT
4. LỜI GIẢI ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017-2018 A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm: Mỗi câu 0,5 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B C B,D A,B B A Câu 9 10 11 12 13 14 15 16 D B C A C A A B B. PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) a b a b 1 Câu 17: a) Ta có a22 b c b c a . bc ab ab ca c b a c Suy ra ab bc ca0 bc a b c abc a2 b c 2018.(1) ab bc ca0 ab c a b abc c2 a b .(2) Từ (1) và (2) ta được c2 a b 2018. b) Đặt b qa;1 c q2 a q thì ta được a 1 qq 2 91 13.7. Trường hợp 1: Nếu q là số tự nhiên thì ta được a 1 a 1 a 1; b 9; c 81. 1 qq 2 91 q 9 a 7 a 7 2 a 7; b 21; c 63. 1 qq 13 q 3 a 13 a 13 a 13; b 26; c 52. 17 qq 2 q 2 x Trường hợp 2: Nếu q là số hữu tỷ thì giả sử q x 3; y 2 . y Khi đó a 1 q q2 91 a x 2 xy y 2 91 y 2 x22 xy y 19 ax2 a Ta có c a ty2 x 2 xy y 2 91 x 6; y 5. yy22 và a 25; b 30; c 36. Vậy có 8 bộ số abc;; thỏa mãn 1;9;81 , 81;9;1 , 7;21;63 , 63;21;7 ; Câu 18: a) x2 2 x x 2 220 x x 2 22 x x 2 2220. x
5. x2 2 x 2 1( L ) 2 xx 2 2 2 x22 2 x 2 4 x 2 x 2 0 x 13 . x 13 b) Gọi CD, lần lượt là hình chiếu của AB, lên bờ sông. Đặt CE x0 x 492 Ta có CD 6152 487 1182 492. Quãng đường di chuyển của người đó bằng AE EB xx2 118 2 492 2 487 2 22 Ta có với mọi a,,, b c d thì a2 b 2 c 2 d 2 a c b d (1). Thật vậy 1 abcd2 2 2 22 abcd 2 2 2 2 ac 22 bd a2 b 2 c 2 d 2 ac bd (2) Nếu ac bd 0 thì (2) luôn đúng. Nếu ac bd 0 bình phương hai vế ta được (2) trở thành ad bc 2 0.Dấu đẳng thức sảy ra khi ad bc. Áp dụng (1) thì AE EB x 492 x 22 487 118 608089 779,8 m Dấu đẳng thức xảy ra khi 487x 118 492 x x 96 m Vậy quãng đường nhỏ nhất là 780 m Câu 19:
6. a) Ta có ABO ACO 180o nên tứ giác ABON nội tiếp Gọi J là giao điểm của AD với đường tròn ABOC .Suy ra DMA đồng dạng DNJ Suy ra DM DN DA DJ 1 Mà DA 2 DI ; DJ DE . 2 Nên DM DN DI DE DMI đồng dạng DEN Vậy tứ giác MINE nội tiếp hay có đpcm. b) Dễ thấy khi MN OAthì O và T tiếp xúc nhau tại E. Khi MN không vuông góc OA. Gọi K là giao điểm của MN với tiếp tuyến của O tại E. Ta có OJK,, thẳng hàng Trong tam giác OEK: KJ . KO KE2 (1) ( Định lý hình chiếu) Trên đường tròn ABOC ta có KJ. KO KN . KM (2). Từ (1) và (2) suy ra KE2 KN. KM nên KE tiếp xúc T c) Ta có OED ODE TIE Nên IT//. OD Gọi W. OA IT Vì I là trung điểm của AD nên W là trung điểm OA (đpcm) Khi MN OA thì W IT. Câu 20: Giả sử a b c t và đặt a txb; tyc ; tz x y z 1.
7. t 3 x y t 3 y z t 3 z x Ta chứng minh t x y z 9 2 2 2 2 2 2 tx xy ty yz tz zx 3x y 3 y z 3 z x 2 2 2 9. x xy y yz z zx 4x x y 4 y y z 4 z z x 4 1 4 1 4 1 99 xxy yyz zzx 1 zx 1 xy 1 yz 5x 1 5 y 1 5 y 1 2 2 2 9 x x y y z z 1 Vì abc,, là ba cạnh của một tam giác nên a b c x, y , z 0; . 2 Ta có: 51x 2 1 2 18x 3 3 x 1 2 x 1 0 đúng  x 0; xx 2 51y 2 1 2 18y 3 3 y 1 2 y 1 0 đúng  y 0; yy 2 51z 2 1 2 18z 3 3 z 1 2 z 1 0 đúng  z 0; zz 2 5x 1 5 y 1 5 y 1 5x 1 5 y 1 5 y 1 Suy ra 18 x y z 9 9 x x2 y y 2 z z 2 x x2 y y 2 z z 2