Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 a 2018 a 2018 a 1 Câu 1: Rút gọn biểu thức P. a 2 a 1a1 2 a 2 Câu 2: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x y x y z , x y z 2 x x z xz và y z. Chứng minh đẳng thức 2 . y y z yz Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321. ( m 1)x y 2 Câu 4: Cho hệ phương trình ( m là tham số và x,y là ẩn số) x 2y 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x,y ) trong đó x,y là các số nguyên. Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3. Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A,AB 12cm,AC 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 500 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng: MB.DN BH.AD b) Tính số đo góc MON Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O ). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. 1 1 1 Câu 9: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2 . Chứng abc 1 1 1 2 minh rằng: . 5a2 2ab 2b 2 5b 2 2bc 2c 2 5c 2 2ca 2a 2 3 Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 1 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
2. LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2017-2018 a 2018 a 2018 a 1 Câu 1: Rút gọn biểu thức P. a 2 a 1a1 2 a a0 Điều kiện: a1 a 2018 a 2018 a 1 Khi đó: P (a 1)2 (a 1)(a 1) 2a ( a 2018 )( a 1) ( a 2018 )( a 1) a 1 . 2 ( a 1) ( a 1) 2 a 2.2017 a a 1 2017 . 2 a1 ( a 1) ( a 1) 2 a 2 Câu 2: Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x y x y z , x y z 2 x x z xz và y z. Chứng minh đẳng thức 2 . y y z yz 2 2 2 x x z x y z y x z Ta có: 2 2 2 y y z x y z x y z 2 x 2 y z x z x z x z 2 x 2 y 2 z 2 2 x y z y z y z y z 2 x 2 y 2 z xz . yz Câu 3: Tìm số tự nhiên abcd sao cho abcd abc ab a 4321. Ta có: abcd abc ab a 4321 1111a 111b 11c d 4321 1 Vì a,b,c,d và 1 a 9,0 b,c,d 9 nên 3214 1111a 4321 a3. Thay vào (1) ta được: 111b 11c d 988 2 Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 b 8.Thay vào (2) ta được: 11c d 100 Mà 91 11c 100 c 9 và d1 . ( m 1)x y 2 Câu 4: Cho hệ phương trình ( m là tham số và x,y là ẩn số) x 2y 2 Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ( x,y ) trong đó x,y là các số nguyên.
3. Từ phương trình thứ hai ta có: x 2 2y thế vào phương trình thứ nhất được: (m 1)(2 2y) y 2 ( 2m 3)y 2m 4 (3) Hệ có nghiệm x,y là các số nguyên ( 3 ) có nghiệm y là số nguyên. 2m 4 1 Với m 2m 3 0 (3) có nghiệm y 1 2m 3 2m 3 2m 3 1 m2 y . Vậy có 2 giá trị m thoả mãn là 1; 2. 2m 3 1 m1 Câu 5: Giải phương trình 1 x 4 x 3. 1 x 0 Điều kiện xác định 4 x 1 * 4 x 0 Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với: 2 5 2 1 x. 4 x 9 1 x 4 x 2 1 x 4 x 4 x 3x 0 x0 x x 3 0 . Đối chiếu với điều kiện (*) ta được x 0; x 3. x3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A,AB 12cm,AC 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Ta có BC AB22 AC 20cm . Gọi E là giao điểm của BI với AC. AE EC AE EC 1 BC Theo tính chất đường phân giác ta có: EC 10cm AB BC AB BC 2 2 Ta có ICE ICM(c g c ) do: EC MC 10 ; ICE ICM ; IC chung. Suy ra: IEC IMC IEA IMB Mặt khác IBM IBA hai tam giác IBM ,ABE đồng dạng BIM BAE 900 BI  MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 500 , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng: MB.DN BH.AD b) Tính số đo góc MON
4. a) Ta có MBH ADN,MHB AND MB BH MBH ∽ ADN MB.DN BH.AD (1) AD DN BH OB b) Ta có: OHB ∽ AOD DO.OB BH.AD 2 DO AD MB OB Từ (1) và (2) ta có: MB.DN DO.OB DO DN Ta lại có: MBO 18000 CBD 180 CDB ODN nên MBO ∽ ODN OMB NOD. Từ đó suy ra: MON 18000 MOB NOD 180 MOB OMB 18000 OBC 115 Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O ). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O nên OD BC,OM AC . Ta có: ODC OMC 900 Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn (I) có tâm I cố định, đường kính OC cố định.
5. Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của đường tròn (I). Nếu H E,H B : 0 - Với M E BHE 90 - Với ME , do DM BH DMH 900 . Khi đó DME DMH 900 H,M ,E 0 thẳng hàng. Suy ra BHE 90 Vậy ta luôn có: BHE 900 hoặc HE hoặc HB do đó H thuộc đường tròn đường kính BE cố định. 1 1 1 Câu 9: Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2 . Chứng minh rằng: abc 1 1 1 2 . 5a2 2ab 2b 2 5b 2 2bc 2c 2 5c 2 2ca 2a 2 3 1 1 1 1 Với  x,y,z 0 ta có : x y z 33 xyz , 3 3 x y z xyz 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z 9 Đẳng thức xảy ra khi x y z x y z 9 x y z x y z 2 2 2 2 2 Ta có: 5a 2ab 2b (2a b) (a b) (2a b) 1 1 1 1 1 1 . Đẳng thức xảy ra khi ab 5a22 2ab 2b 2a b 9 a a b 1 1 1 1 1 1 Tương tự: Đẳng thức xảy ra khibc 222b c 9 b b c 5b 2bc 2c 1 1 1 1 1 1 Đẳng thức xảy ra khi ca 5c22 2ca 2a 2c a 9 c c a Do đó: 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 9 a b c 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a 1 1 1 1 2 3 a b c 3 3 Đẳng thức xảy rakhi abc . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 2 Câu 10: Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông. 1 2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng . 3 Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.
6. Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho S 3S CDSK ABKS Từ SCDSK 3S ABKS ta suy ra được: DS CK 3 AS BK 1 a AS a BK 3 AS BK AS BK a 2 1 EM a suy ra E cố định và d đi qua E. 4 a Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho FN GP HQ . 4 Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H. Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít nhất 2018 1 505 đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505 4 đường thẳng đó đồng quy.