Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Hải Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Hải Hòa (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6.0 điểm) Cho biểu thức: + 1 1 + 1 = + + 2 3 4 3 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − a) Nêu ĐKXĐ và Rút𝐴𝐴 gọn biểu thức A.2 3 b) Tính giá trị của biểu thức A𝑥𝑥 biết 𝑥𝑥x thoã− 𝑥𝑥 mãn: 𝑥𝑥 +− 𝑥𝑥 = 2 . 6 2 c) Tìm các giá trị x > 0 để biểu thức B = nhận𝑥𝑥 giá trị𝑥𝑥 nguyên . A Câu 2: (3.0 điểm) 1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: nn3 − chia hết cho 24. 2 2. Tìm số nguyên dương n để (n2 −+8) 36 là số nguyên tố. Câu 3: (3.0 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2xyx22+ 3 += 4 19 2xx 13 2. Giải phương trình: +=6 . 2x22− 5 x + 32 xx ++ 3 Câu 4: (7.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh: b) Qua C kẻ đường𝛥𝛥𝛥𝛥 𝛥𝛥𝛥𝛥thẳng∼ 𝛥𝛥 𝐸𝐸𝐸𝐸b song𝐸𝐸 song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: NC= ND và HI= HK. c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 Câu 5: (1.0𝐻𝐻𝐻𝐻 điểm)𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻 yx2 24+ Cho hai số dương x , y thỏa mãn: = . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4xx2 ++ 12 9 y + 1 thức: Q=−−− xy323 y x . Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN (Đề gồm 01 trang) Nội Dung Điể Câu m Cho biểu thức: + + = + + 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 a)Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức𝟐𝟐 A. 𝟑𝟑 𝑨𝑨 6.0 đ b) Tính giá trị của biểu thức𝒙𝒙 A biết𝒙𝒙 −x𝒙𝒙 thoã mãn:𝒙𝒙 − 𝒙𝒙+ = . 6 𝟐𝟐 c) Tìm x > 0 để biểu thức B = nhận giá trị nguyên𝒙𝒙 . 𝒙𝒙 𝟐𝟐 A a) ĐKXĐ: Với 0; 1; 1 0.5 b) Rút gọn: Với 0; 1; 1 ta có: 𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥 ≠ − x2+11 x 3 − xxx 43 − +− 1 A =++𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥 ≠ − x x23−− x xx 0.5 = + 2 2 2 𝑥𝑥 +1 𝑥𝑥 +𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 −𝑥𝑥+1 xx2 ++21 0.5 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 Câu 1 x (6.0 đ) 2 ( x +1) = x 0.5 b)Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: + = 2 Ta có: + = 2 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 +2 2 = 0 ( 1)( + 2) = 0 0.5 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 1 ( / ) 0.5 ⇔ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − ⇔ 𝑥𝑥 − =𝑥𝑥 2( / ) 0.5 𝑥𝑥 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 Với = 2 thì = . ⇔ � 0.5 −1 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝐴𝐴 2 6 0.5 c)Tìm x > 0 để biểu thức B = nhận giá trị nguyên A 66x Vì x > 0 nên B = = > 0 0.5 A 2 ( x +1) Vì (x-1)2 > 0 suy ra: (x +1)2 > 4x
3. 2 ( x +1) 4x 0.5 Do đó: A = > =⇒>44A −+6 10 nn 6 10 0.5 2 2 nn++=6 10 1 để n2 −+8 36 là số nguyên tố thì ( )  2 nn−+=6 10 1 Mà nn22++>−+6 10 nn 6 10 nên nn2 −+=6 10 1 0.5 2 ⇔nn2 −6 +=⇔ 90( n − 3) =⇔= 0 n 3 22 Thử lại: Với n = 3 ⇒(n22 −8) += 36( 3 − 8) += 36 37 là số nguyên tố 2 2 Vậy với n = 3 thì (n −+8) 36 là số nguyên tố 0.5 22 Câu 3 1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2xyx+ 3 += 4 19 (3.0 đ) 2xx 13 2. Giải phương trình: +=6 3.0 đ 2x22− 5 x + 32 xx ++ 3
4. 1. Ta có: 2xyx22+ 3 + 4 = 19 ⇔ 2 xx2 + 4 += 2 21 − 3 y2 2 ⇔2( xx22 + 2 += 1) 37( − y) ⇔ 2( x + 1) = 37( − y 2)( 1) 0.5 Ta thấy: ⇒−22 ⇒ Vế trái PT (1) chia hết cho 2 và 3 là số lẻ 72yy lẻ nên y lẻ (2) Vì vế trái PT (1) không âm do đó 37( −y2) ≥⇔− 0 7 yy 22 ≥⇔ 0 ≤ 73( ) 0.5 Từ (2) và (3) suy ra yy2 =⇔=±11. Thay y2 =1vào (1) ta được : 22xx+=13 = 2 2( xx+=⇔+=⇔ 1) 18( 1) 9  ⇔ xx+=−13 =− 4 0.5 − − −− Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của PT là (2; 1) ,( 2;1) ,( 4;1) ,( 4; 1) 2xx 13 2. +=6 2x22− 5 x + 32 xx ++ 3 Ta thấy x = 0không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của các 2 13 phân thúc cho x ta có +=6 33 25xx−+ 21 ++ xx 3 Đặt: 22xa+ −=ta được: 0.5 x 2 13 2a++ 6 13 a − 39 6( aa − 3)( + 3) +=6 ⇔= aa−+33 (aa−+ 3)( 3) ( aa −+ 3)( 3) ⇒15aa −= 33 62 − 54 ⇔6aa2 − 15 −= 21 0 ⇔(2aa − 7)( += 1) 0 a = −1  ⇔ 7 a =  2 0.5 37 Với a = −1 ⇒22x + −= ⇔2xx2 −+= 30 x 2 2 2 1 23 ⇔4xx − 2 += 60⇔20x − +=vô lý 24 7 3 Với a = ⇒2x + −=− 21⇔4xx2 − 11 += 6 0 2 x x = 2 2  ⇔4x −−+= 3 xx 8 60⇔−( xx24)( −= 3) 0⇔ 3 x =  4 3 0.5 Tập nghiệm của phương trình là S = 2; . 4
5. Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh: b) Qua C kẻ đường𝜟𝜟𝜟𝜟 𝜟𝜟𝜟𝜟thẳng∼ 𝜟𝜟 𝑬𝑬𝑬𝑬b song𝑬𝑬 song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: H là trung điểm của IK c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑩𝑩𝑩𝑩 𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑯𝑯𝑯𝑯 Hình vẽ: A FK Câu 4 G (7.0 đ) H I M C 0,5 B E N D a)Ta có: ( . ) = 1,0 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 ∼ 𝛥𝛥𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑔𝑔 CE𝑔𝑔 ⇒ 𝐶𝐶 CA𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 Xét ∆ABC và ∆EFC có: = và góc C chung 1,0 CF CB Suy ra: ( ) 0.5 CN𝛥𝛥𝛥𝛥//𝛥𝛥𝛥𝛥 IK∼ 𝛥𝛥𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 HM⊥⇒ CN M ∆HNC b)Vì mà nên là trực tâm 0.5 ⇒⊥MN CH mà𝐻𝐻𝐻𝐻 CH⊥⊥𝐼𝐼𝐼𝐼 AD( H là trực tâm ∆⇒ABC) MN // AD hay MN // BD 0.5 Xét ó: M là trung điểm của BC, MN // BD N𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥 là trung𝑐𝑐 điểm của CD NC = ND (1) 0.5 Vì⇒ IK // CD , Áp dụng định lý⇒ talets ta có: = = (2) 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐻𝐻𝐻𝐻 Từ (1) và (2) IH = HK hay H là trung điểm𝐴𝐴𝐴𝐴 của𝐷𝐷𝐷𝐷 IK𝐶𝐶 𝐶𝐶 0.5 ⇒
6. c)Ta có: = = = = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0.5 Tương tự𝐻𝐻𝐻𝐻 ta có:𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶 =𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶;+𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵+𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵+𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 + + = 𝐵𝐵+𝐵𝐵 +𝑆𝑆 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆 + + 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 0.5 ⇒ 𝑃𝑃 = 𝐻𝐻+𝐻𝐻 𝐻𝐻𝐻𝐻+ 𝐻𝐻𝐻𝐻+ 𝑆𝑆+𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵= 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵+ 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵+ + 0.5 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 2 + 2 + 2 = 6 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = = ≥ 0.5 Khi và chỉ khi ∆ABC đều . 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑆𝑆𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 yx2 24+ Cho hai số dương x , y thỏa mãn: = . Hãy tìm giá 4xx2 ++ 12 9 y + 1 trị nhỏ nhất của biểu thức: Q=−−− xy323 y x . 1.0 đ y2224 x++ yx 24 Ta có: =⇒= 4xx22++ 1291 y + (23) x + y + 1 = = + >> Đặt ay; bx23 (ab0; 3) ab2 +1 Ta được: = ⇒a33 += ab + b⇔(aba − )( 22 + abbab + ++) = 0 (1) ba2 +1 >> 22+ + ++> Câu 5 Vì ab0; 3 nên a ab b a b 0 . (1.0 đ) Do đó : (1) ⇔=ab. = + Suy ra: yx23. 0.5 Nên : Qxx=(2 +− 3) 3(2 x +− 3) 2 x − 3 = 2 5 12 = 2( 6) = 2 . 2 2 2 5 5 121 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − ��𝑥𝑥 − 4� − 16 � = 2 . 5 2 121 −121 �𝑥𝑥 − 4� − 85≥ 118 Dấu ""= xảy ra khi: xy=; = (thỏa mãn). 42 0.5 −121 5 11 Vậy GTNN của Q là tại xy=; = . 8 42 Điểm toàn bài 20 đ Lưu ý khi chấm bài: - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
7. - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.