Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Hải Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Hải Hòa (Có đáp án)

1. PHÒNG GD THỊ XÃ CỬA LÒ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG-LỚP 9 TRƯỜNG THCS HẢI HOÀ NĂM HỌC 2023– 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi :TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút xxxxxxx+−−+−111 2 Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức: P = ++ xxxxxx−− a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của biểu thức P tại | x-1|= 4 − 12 + 19 − 192 6 c) Tìm x để Q = nhận giá trị nguyên. P Bài 2: (3 điểm) a, Chứng minh rằng với mọi n N và n > 2 thì n4 - n + 2 không phải là số chính phương. b, ) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3( y2 -8x) = 3 – 4x2 Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình: (11)(5x)2xx ++−= Bài 4: (7, 0 điểm) Cho ABC vuông tại A; BC = 2a (cm). Đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AC, AB. Chứng minh rằng : a) AB. EB + AC. EH = AB 2 b) Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với AC, qua điểm C vẽ đường thảng song song với AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại M. Gọi N và K lần lượt là trung điểm của BM và HC. Chứgn minh AK vuông góc với KN. c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE. Câu 5 (2,0 điểm) : Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a2+ b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 = 2015. a2 b 2 c 2 1 2015 Chứng minh rằng: + + . b+ c c + a a + b 22 Hết
2. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài C Nội dung Điể âu m a ĐKXĐ: xx 0 ; 1 . 0,5 3, xxxxxxx+−++−−−1(1)(1)(1)(1) 2 Rút gọn: P = ++ 0 xxxxx (1)(1)−− 0,7 đ 5 xxxxx+++−−111 = ++ xxx 0,5 xxxxx+++++−−111 Bài = 1 x 0,5 (4,5 (x + 1)2 = đ) x 0,5 Vậy P = với 0,2 5 b Ta có: | x-1|= 4 − 12 − 19 − 192 2, x −=13. 0 đ x – 1 = 3 hoặc x - 1 = - 3 0,5 x = 4 hoặc x = - 2. 0,5 Vì x = 4 thỏa mãn đkxđ nên ta có: 0,5 Giá trị của biểu thức P là: (41)9+ 2 P == 0,5 4 2 c Với ĐKXĐ: . 1, 6 6 x Ta có: Q = = 0 mọi x thuộc đkxđ. 0đ P (1)x + 2 6x 6 x−+ 3( x 1)2 −=3 Mặt khác: Q – 3 = 22 (xx++ 1) ( 1) 63(xxxx−++−+ 21)3(1) == < 0 mọi x thuộc đkxđ. (1)(1)xx++22 Nên : Q < 3 mọi x thuộc đkxđ. Vậy : 0 < Q < 3 với mọi . Vì Q nhận giá trị nguyên nên Q = 1 hoặc Q = 2. 0,5 6 x +) Q = 1 =1 x - 4 x + 1 = 0 (x + 1)2 ( - 2) 2 = 3
3. x= (2 3)2 ( t/m đkxđ) 6 x +) Q = 2 = 2 x - x + 1 = 0 . PT vô nghiệm. (x + 1)2 0,5 Vậy với thì Q nhận giá trị nguyên. a Đặt M= n4 - n + 2 1, Ta có: M = n4 - (n - 2) 2 nên n-2 > 0) 5đ 0,5 Mặt khác: A = n4 - 2n2 +1 + 2n2 -n + 1= (n2 -1)2 + (2n2 -n + 1) 1 7 => M > (n2 -1)2 ( vì 2n2 - n + 1= 2(n - )2 + > 0 ) 0,5 4 8 => (n2 -1)2 y lẻ. 0,5 Ta lại có: 7 - y2 0 nên suy ra y2 = 1 ; y2 =9 Khi đó (1) có dạng: 4(x-3)2 = 36 hoặc 4(x-3)2 =12 ( Loại) 0,5 => x- 3 = 3 do đó x = 6 hoặc x = 0. Vậy các cặp (x,y) : (6;1), (6;-1), (0;1), 0;-1) thỏa mãn (1) là nghiệm của PT đã cho. ĐK: x −1. Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT (1) . Với x 0 ta nhân 2 vế của PT (1) với ((11)x +− ta có: 0,5 (11)(5x)2xx ++−= 0,5 (x11)+− (5x)2x−= x(5 – x) = 2 x Bài (5 – x) = 2 (do ) 3 x + 2 x+1 - 7 = 0 (2,0 ( +1) 2 = 9 0,5 đ) + 1 = 3 ( do + 1 > 0 vợi mọi ) = 2 x + 1 = 4 x = 3 (t/m đk) 0,5 Vậy phương trình có nghiệm là: x = 3.
4. a Vẽ hình đúng 0,5 2, 0đ Bài 4 (6,5 đ) 0,5 0,5 0,5 Chứng minh: AB. EB + AC. EH = AB 2 Xét tứ giác ADHE có: ADE=== 900 ADHE là hình chữ nhật HE = AD. 0,5 Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong: AHB vuông tại H, đường cao HE ta có: BH = BA.BE (1) 0,5 AHC vuông tại H, đường cao HD ta có: AH = AD.AC Mà HE = AD nên AH = AD.AC = AC.HE (2) Từ (1) và (2) suy ra: AB. EB + AC. EH = BH + AH = AB (đpc/m)
5. b b, Gọi O là giao điểm của AH và ED. 2, 0đ Chứng minh được OK là đường trung bình của tam giác AHC 0,5 Chứng minh được tứ giác BNKO là hinh bình hành để suy ra BO song song 0,5 với NK 0,5 - Chứng minh được O là trực tâm của tam giác ABK - Chứng minh được BO vuông góc với AK để suy ra NK vuông góc với 0,5 AK C, Tìm giá trị lớn nhất của: diện tích tứ giác ADHE. 1 ABC vuông tại A, trung tuyến AM ta có: AM = BC = a (cm) 2 0,5 2 Xét ABH vuông tại H có: AH 2 = AE.AB AE = AH AB AH 2 Tương tự: AD = AC AHAHAHAMaa443332 Do đó: SAE AD==. . = == == ADHE AB 22 ACAH BCBCBCa 0,5 c Dấu “=” xảy ra AH  AM H M 2, 0 ABC vuông cân tại A. a2 Vậy max S = ABC vuông cân tại A. ADHE 2 2, Ta có 2()()abab222+ + . Suy ra: 0đ abcabc222222 ++ ++ b+++ cc aa b 222222 Bài 222(bccaca+++) ( ) ( ) 5 Đặt xbcycazab=+=+=+222222 ,,, 0,5 (1,0 222222222 yzxzxyxyz+ −+ −+ − đ) suy ra VT ++ 2 22xyz 22 2 1()()() y +++ zz222 xx y − +− +− xyz 22 222 xyz 0,5 0,5 1 (y +++ zz )(222 xx )( y ) =+ − ++ −2x 32++ xy 32− yz 3 z 0,5 22 222 xyz 1 (2(y + z )3 − x) +( 2( z + x )3 − y) +( 2( x + y − 3 z) 22 1 1 2015 Suy ra VT () x + y + z = 22 22 Thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.