Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2020-2021 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Huệ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2020-2021 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Nguyễn Huệ (Có đáp án)

1. MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN: TOÁN-10 1. KHUNG MA TRẬN (Tự luận: 5 câu ) Chủ đề Cấp độ tư duy Chuẩn KTKN Cộng Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Hệ phương trình Câu 1b 10% Phương trình bậc hai Câu 1a 10% một ẩn Câu 2a 5% Hệ thức Vi-et và ứng Câu 2b 15% dụng Hàm số y= ax2 ( a ≠ 0) Câu 3a Câu 3b 15% Biến đổi đơn giản biểu Câu 4 10% thức chứa căn thức bậc hai Một số hệ thức về cạnh Câu 5a Câu 5b 20% và đường cao trong tam Câu 5c 15% giác vuông Cộng 25% 25% 25% 25% 100%
2. 2. BẢNG MÔ TẢ CHI TIẾT NỘI DUNG CÂU HỎI CHỦ ĐỀ CÂU MÔ TẢ Hệ phương trình 1b Thông hiểu: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương trình bậc hai một ẩn 1a Nhận biết: Giải phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn. 2a Nhận biết: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm hoặc vô nghiệm với mọi tham số. Hệ thức Vi-et và ứng dụng 2b Vận dụng thấp: Tìm tất cả các giá trị của tham số m thỏa điều kiện cho trước. Hàm số y= ax2 ( a ≠ 0) 3a Nhận biết: Vẽ parabol. 3b Thông hiểu: Tương quan giữa đường thẳng và parabol. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn 4 Vận dụng thấp: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. thức bậc hai Một số hệ thức về cạnh và đường cao 5a Thông hiểu: Chứng minh đẳng thức có liên quan đến cạnh và trong tam giác vuông đường cao của tam giác vuông. 5b Vận dụng cao: Ứng dụng một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để giải một số bài toán liên quan. 5c Vận dụng cao: Ứng dụng một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để giải một số bài toán liên quan. Ghi chú: Số thứ tự câu trong ma trận đề không phải là số thứ tự câu hỏi trong đề kiểm tra.
3. SỞ GD& ĐT QUẢNG NAM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG, NĂM HỌC 2020 - 2021 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ Môn: TOÁN - Lớp 10 Thời gian làm bài: 90 phút Họ, tên thí sinh: Lớp: Câu 1: (2,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: 15 7  − = 9 2  x y a/ (x2 + 3x) − 2x2 − 6x − 8 = 0 b/  4 9  + = 35  x y Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 − 2(m −1)x − 3 + 2m = 0, (1) (m là tham số). a/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m. 2 2 b/ Tìm tất cả các giá trị của m sao cho x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3: (1,5 điểm) Cho (P) : y = 2x2 và (D) : y = x +1. a/ Vẽ (P) . b/ Viết phương trình (D′) biết (D′) song song với (D) và (D′) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1. (x2 − 4) 4 Câu 4: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A = , với x ≠ 2. 2 x2 − 4x + 4 Câu 5: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm M , vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). Gọi H là hình chiếu của C trên AB . a/ Chứng minh MA.MB = MH.MO . b/ Chứng minh tia CA là phân giác của góc HCM . c/ Cho MA = a,MC = 2a . Tính độ dài CH theo a . HẾT Thí sinh không được dùng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
4. ĐÁP ÁN Câu Ý Đáp án Điểm 2 2 (x2 + 3x) − 2x2 − 6x − 8 = 0 ⇔ (x2 + 3x) − 2(x2 + 3x)− 8 = 0 0,25 a = 2 + 2 − − = ⇔ = = − Đặt t x 3x , ta có pt t 2t 8 0 t 4;t 2 0,5 Giải tìm được 4 nghiệm x = −4; x = −2; x = −1; x = 1 0,25 15 7  − = 9  x y  (*) 4 9 1  + = 35  (2,0 điểm)  x y 1 1 b Đặt X = ;Y = ,(x ≠ 0; y ≠ 0) 0,5 x y  1 x = 15X − 7Y = 9 X = 2  2 Ta được  ⇔  ⇒  0,5 4X + 9Y = 35 Y = 3 1   y =  3 x2 − 2(m −1)x − 3 + 2m = 0, (1) 2 2 a Ta có ∆′ = m − 4m + 4 = (m − 2) ≥ 0,∀m ∈ R . 0,25 Vậy pt (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m . 0,25 S = x1 + x2 = 2(m −1) (đl Viet) 2 Ta có  0,5 P = x1x2 = −3 + 2m (đl Viet) (2,0 điểm) và x 2 + x 2 = S 2 − 2P = 4m2 −12m +10 b 1 2 = (2m − 3)2 +1 ≥ 1 0,75 3 Dấu “=” xảy ra khi m = . 0,25 2 Vẽ (P) : y = 2x2 . - Lập đúng bảng giá trị a 0,5 x -2 -1 0 1 2 3 = 2 (1,5 điểm) y 2x 8 2 0 2 8 - Vẽ đúng đồ thị 0,5 - Viết đúng dạng của (D′) : y = x + b,(b ≠ 1). 0,25 b - Tìm được b = 3. 0,25 - Kết luận. (x2 − 4) 4 (x − 2)(x + 2) 4 0,25 A = = . 2 2 x − 4x + 4 2 (x − 2)2 (x − 2)(x + 2) 2 = . 4 2 x − 2 0,25 (1,0 điểm) (x − 2)(x + 2) 2 - Nếu x − 2 > 0 ⇔ x > 2 thì A = . = x + 2 2 x − 2 0,25 (x − 2)(x + 2) 2 - Nếu x − 2 < 0 ⇔ x < 2 thì A = . = −x − 2 0,25 2 − (x − 2)
5. C I B O H A M 5 (3,5 điểm) Hình vẽ 0,25 điểm Chứng minh được MH.MO = MC 2 0,25 a ∆MCA∽ ∆MBC ⇒ MA.MB = MC 2 Kết luận 0,5 Chứng minh được ∠HCA + ∠OAC = ∠ACM + ∠OCA 0,5 b Từ đó suy ra điều cần chứng minh 0,5 Tính được MB = 4a 0,5 3 0,5 c ⇒ AB = 3a,OA = OC = a . 2 6 0,5 Có CH.OM = OC.CM ⇒ CH = a . 5 Chú ý: Nếu học sinh có cách giải khác nhưng đúng thì vẫn cho điểm tối đa.