Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS An Trung (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS An Trung (Có hướng dẫn chấm)

1. TRƯỜNG THCS AN TRUNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 NĂM HỌC 2022 -2023 Môn Toán 8 – Thời gian 120 phút Câu 1: (6 điểm)a) Tìm x, y Z thỏa mãn x2 xy x 3 y 1. b) Tìm x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho 4x 1 y và 4y 1 x . c) Xác định đa thức f(x) biết f(x) chia hết cho 2x – 1, chia cho x – 2 thì dư 6, chia cho 2x2 5 x 2 được thương là x + 2 và còn dư . x2 x x 1 1 2 x 2 Câu 2 (4 điểm)1.Cho biểu thức P 2: 2 x 2 x 1 x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức P. 1 b) Tìm x để P . 2 Câu 3 (4 điểm) a) Giải phương trình sau: x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24. b) Cho x > 0,y > 0 và x y 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 28 1 P 2 x2 y 2 2022. x y Câu 4 (6 điểm)1. Cho hình vuông ABCD trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. a) Chứng minh MNPQ hình vuông. b) Tìm vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Cho tam giác ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Chứng minh CE = BF. Hết
2. Hướng dẫn chấm Câu Nội dung Điểm 1 Tìm x, y Z thỏa mãn a) x2 xy x 3 y 1 Ta có y(x +3) = x2 + x – 1 0,5 Nếu x = -3 Thì VT = 0 còn VP khác 0. 2 x x 1 5 Nên x 3 suy ra y x 2 0,5 x 3 x 3 x,y là số nguyên nên 5x 3 0,5 x 3 1; 1;5; 5 Vậy các cặp (x; y) thỏa mãn là: (-2; 1), (-4; -11), (2; 1); (-8; -11) 0,5 b) Tìm x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho 4x 1 y và 4y 1 x Đặt 4x +1 = ky ( k là số tự nhiên) 0,5 Gỉ sử 2 x y Ta có ky = 4x +1 < 4y+y = 5y suy ra k < 5 mà k là số lẻ nên k = 1, k = 3. 0,5 Với k = 1 suy ra y = 4x +1 suy ra 4y 1 x 4 4 x 1 1  x 5  x x 5 y 21 0,5 Với k = 3 suy ra 3y = 4x +1 29 Từ 4y 1 x 12 y 3  x 4 4 x 1 3  x 7  x x 7, y 3 0,5 (Loại) Vậy (x; y) là (5;21), (21; 5) Gọi đa thức dư của phép chia f(x) cho 2x2 -5x +2 là ax + b Thương của phép chia f(x) cho 2x – 1 là A(x) và thương của phép chia f(x) cho x – 2 là B(x). 0,5 Ta có f(x) = (2x - 1).A(x) (1) f(x) = (x - 2).B(x) + 6 (2) f(x)= (2x2 -5x +2)(x +2) + ax +b (3) 0,5 1 xét x = ½ từ (1) và (3) suy ra f(1/2) = .a b 0 2 0,5 xét x = 2 từ (2) và (3) suy ra f(2) = 6 = 2a +b Từ đó suy ra a = 4, b = -2 0,5 Vậy f(x) = (2x2 -5x +2)(x +2) +4x – 2. Câu 2 x2 x x 1 1 2 x 2 Cho biểu thức P 2: 2 x 2 x 1 x x 1 x x a) Rút gọn biểu thức P.
3. 1 b) Tìm x để P . 2 x 0 0,5 ĐK: x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x2 x2 a) P 2 : 1,0 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x2 1 x 2 x 2 x 2 P : x 1 2 x x 1 x 1 1,5 1 1x2 1 x b) p 2x 1 x 1 0 2 0,5 2x 1 2 x 1 x=-1(KTM), x=1/2 (TM) 0,5 Câu 3 a) Giải phương trình sau: x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24. Ta có (x2 + x)( x2 + x -2) = 24 Đặt x2 + x = a ta có a(a - 2) = 24 suy ra a2 -2a = 24 suy ra 1,0 a = 6, a = - 4. Với a = 6 suy ra x2 + x – 6= 0 suy ra x = 2, x = -3 1,0 Với x = -4 suy ra x2 +x +4 = 0 vô nghiệm. b) Cho x > 0,y > 0 và x y 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 28 1 P 2 x2 y 2 2022. x y 28 1 2 2 1,0 P 7 x y 2 x 2 y 1 x y 2013 x y 28 1 Suy ra P 2 .7 x 2 . y 0 0 3 2013 2046 1,0 x y Suy ra GTNN của P = 2046 khi x = 2, y = 1.
4. Câu 4 A M B N Q D P C a) Chứng minh MNPQ là hình vuông 2 AM. AQ b) S nhỏ nhất khi và chỉ khi S lớn nhất mà S MNPQ AMQ AMQ 2 0,5 2 AM MB AB2 AM AQ AM MB 1,0 4 4 AB2 S lớn nhất là AM MB AMQ 8 0,5 Vậy SMNPQ nhỏ nhất khi và chỉ khi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. F A E B D M C Gọi AD là phân giác của góc BAC BA BD BF BA 0,5 Ta có: AD// FM (1) BF BM BM BD CE CM CE CA ME// AD (2) CA CD CM CD 0,5
5. BA BD BA CA 0,5 Theo tính chất đường phân giác (3) CA DC BD DC BF CE Từ (1),(2),(3) suy ra BF CE (vì BM = CM) 0,5 BM CM Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.