Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Hải Hòa (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Hải Hòa (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6.0 điểm) Cho biểu thức: 2 + 1 3 ― 1 4 ― 3 + ― 1 = + + 2 ― ― 3 a) Nêu ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 2 + = 2 . 6 c) Tìm các giá trị x > 0 để biểu thức B nhận giá trị nguyên . A Câu 2: (3.0 điểm) 1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: n3 n chia hết cho 24. 2 2. Tìm số nguyên dương n để n2 8 36 là số nguyên tố. Câu 3: (3.0 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2x2 3y2 4x 19 2x 13x 2. Giải phương trình: 6 . 2x2 5x 3 2x2 x 3 Câu 4: (7.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE,BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM ,a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh: 훥 ∼ Δ 퐹 b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: NC ND và HI HK. c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + 퐹 + Câu 5: (1.0 điểm) y2 2x 4 Cho hai số dương x , y thỏa mãn: . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4x2 12x 9 y 1 thức: Q xy 3y 2x 3. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN (Đề gồm 01 trang) Nội Dung Điể Câu m Cho biểu thức: 풙 + 풙 ― 풙ퟒ ― 풙 + 풙 ― = + + 풙 풙 ― 풙 풙 ― 풙 a)Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. 6.0đ b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 풙 +풙 = . 6 c) Tìm x > 0 để biểu thức B nhận giá trị nguyên . A a) ĐKXĐ: Với ≠ 0; ≠ 1; ≠ ― 1 0.5 b) Rút gọn: Với ≠ 0; ≠ 1; ≠ ― 1 ta có: x2 1 x3 1 x4 x3 x 1 A x x2 x x x3 0.5 2 + 1 2 + + 1 2 ― + 1 = + ― x2 2x 1 0.5 Câu 1 x (6.0 đ) 2 x 1 x 0.5 b)Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 2 + = 2 Ta có: 2 + = 2 ⇔ 2 + ― 2 = 0 ⇔( ― 1)( + 2) = 0 0.5 = 1 ( 푡/ ) 0.5 ⇔ = ―2(푡/ ) 0.5 ―1 Với thì . = ― 2 = 2 0.5 6 0.5 c)Tìm x > 0 để biểu thức B nhận giá trị nguyên A 6 6x Vì x 0 nên B 0 0.5 A x 1 2 Vì (x-1)2 > 0 suy ra: (x +1)2 > 4x
3. 2 0.5 x 1 4x 6 6 Do đó: A = 4 A 4 ⇒ < = 1,5 x x 4 Khi đó: 0 B 1,5 mà B nhận giá trị nguyên nên B 1 6x 2 2 x 2 3 ⇔ 2 1 6x x 1 x 4x 1 0 x 1 x 2 3 0.5 x 2 3 Vậy B nhận giá trị nguyên ⇔ (t/mđk) x 2 3 1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: n3 n chia hết cho 24. 2 2. Tìm số nguyên dương n để n2 8 36 là số nguyên tố. 3.0 đ 1.Ta có: n3 n n n 1 n 1 Vì n 1; n; n 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết 0.5 cho 3. Do đó n3 n 3 (1) Vì n là số tự nhiên lẻ nên n 1 và n 1 là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó 0.5 n 1 n 1 8 n3 n 8 (2) Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra 0.5 n3 n 24 (đpcm) Câu 2 2.Ta có (3.0 đ) 2 n2 8 36 n4 16n2 64 36 n4 16n2 100 n4 20n2 100 36n2 2 n2 10 36n2 n2 6n 10 n2 6n 10 Vì n N * nên n2 6n 10 n2 6n 10 0.5 2 2 n 6n 10 1 để n2 8 36 là số nguyên tố thì 2 n 6n 10 1 Mà n2 6n 10 n2 6n 10 nên n2 6n 10 1 0.5 n2 6n 9 0 n 3 2 0 n 3 2 2 Thử lại: Với n = 3 n2 8 36 32 8 36 37 là số nguyên tố 2 Vậy với n = 3 thì n2 8 36 là số nguyên tố 0.5 2 2 Câu 3 1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2x 3y 4x 19 (3.0 đ) 2x 13x 2. Giải phương trình: 6 3.0 đ 2x2 5x 3 2x2 x 3
4. 1. Ta có: 2x2 3y2 4x 19 2x2 4x 2 21 3y2 2 x2 2x 1 3 7 y2 2 x 1 2 3 7 y2 1 0.5 Ta thấy: Vế trái PT (1) chia hết cho 2 và 3 là số lẻ 7 y2 2 y2 lẻ nên y lẻ 2 Vì vế trái PT (1) không âm do đó 3 7 y2 0 7 y2 0 y2 7 3 0.5 Từ (2) và (3) suy ra y2 1 y 1. Thay y2 1vào (1) ta được : 2 2 x 1 3 x 2 2 x 1 18 x 1 9 x 1 3 x 4 0.5 Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của PT là 2; 1 , 2;1 , 4;1 , 4; 1 2x 13x 2. 6 2x2 5x 3 2x2 x 3 Ta thấy x 0không là nghiệm của phương trình. Chia cả tử và mẫu của các 2 13 phân thúc cho x ta có 6 3 3 2x 5 2x 1 x x 3 Đặt: 2x 2 a ta được: 0.5 x 2 13 2a 6 13a 39 6(a 3)(a 3) 6 a 3 a 3 (a 3)(a 3) (a 3)(a 3) 15a 33 6a2 54 6a2 15a 21 0 (2a 7)(a 1) 0 a 1 7 a 2 0.5 3 7 Với a 1 2x 2 2x2 x 3 0 x 2 2 2 1 23 4x 2x 6 0 2x 0 vô lý 2 4 7 3 Với a 2x 2 1 4x2 11x 6 0 2 x x 2 4x2 3x 8x 6 0 x 2 4x 3 0 3 x 4 3 0.5 Tập nghiệm của phương trình là S 2;  . 4
5. Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AE,BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM ,a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh: 휟 푪 ∼ 휟푬푭푪 b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh: H là trung điểm của IK c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 푯 푯 푪푯 thức: P = 푯푬 + 푯푭 + 푯푮 Hình vẽ: A FK Câu 4 G (7.0 đ) H I M C 0,5 B E N D 1,0 a)Ta có: 훥 ∼ Δ 퐹 ( . )⇒ 퐹 = CE CA 1,0 Xét ABC và EFC có: và góc C chung CF CB Suy ra: 훥 ∼ 훥 퐹 ( ) 0.5 CN / /IK HM  CN M HNC b)Vì mà ⊥ 퐾 nên là trực tâm 0.5 MN  CH mà CH  AD(H là trực tâm ABC) MN / / AD hay MN // BD 0.5 Xét 훥 ó: M là trung điểm của BC, MN // BD ⇒ N là trung điểm của CD ⇒ NC = ND (1) 퐾 0.5 Vì IK // CD , Áp dụng định lý talets ta có: = = (2) Từ (1) và (2) ⇒ IH = HK hay H là trung điểm của IK 0.5
6. 푆 푆 푆 + 푆 푆 + 푆 c)Ta có: = = = = 푆 푆 푆 + 푆 푆 0.5 푆 + 푆 푆 + 푆 Tương tự ta có: = ; = 퐹 푆 푆 푆 + 푆 푆 + 푆 푆 + 푆 ⇒푃 = + + = + + 퐹 푆 푆 푆 0.5 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 = + + + + + = + + + + 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 푆 + 0.5 푆 ≥ 2 + 2 + 2 = 6 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 푆 = 푆 = 푆 Khi và chỉ khi ABC đều . 0.5 y2 2x 4 Cho hai số dương x , y thỏa mãn: . Hãy tìm giá 4x2 12x 9 y 1 trị nhỏ nhất của biểu thức: Q xy 3y 2x 3. 1.0 đ y2 2x 4 y2 2x 4 Ta có: 4x2 12x 9 y 1 (2x 3)2 y 1 Đặt a y ; b 2x 3 a 0;b 3 a2 b 1 Ta được: a3 a b3 b (a b)(a2 ab b2 a b) 0 1 b2 a 1 Câu 5 Vì a 0;b 3 nên a2 ab b2 a b 0 . (1.0 đ) Do đó : 1 a b . Suy ra: y 2x 3 . 0.5 Nên : Q x(2x 3) 3(2x 3) 2x 3 5 2 = 2 2 ― 5 ― 12 = 2( 2 ― ― 6) = 2 ― 5 ― 121 . 2 4 16 2 121 ―121 = 2 ― 5 ― ≥ . 4 8 8 5 11 Dấu " " xảy ra khi: x ; y (thỏa mãn). 4 2 0.5 121 5 11 Vậy GTNN của Q là tại x ; y . 8 4 2 Điểm toàn bài 20 đ Lưu ý khi chấm bài: - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
7. - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.