Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 (Vòng 2) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Cao Xuân Huy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 (Vòng 2) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Cao Xuân Huy (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS CAO XUÂN HUY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG 2 – NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán – Lớp 8 – Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (4,0 điểm) 1 2x 1 2y 1) Cho x, y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1. 1 x 1 y Chứng minh M = x2 + y2 – xy là bình phương của một số hữu tỷ. 2) Cho đa thức f x . Tìm số dư của phép chia f x cho x 1 x 2 , biết rằng f x chia x 1 dư 7 và f x chia x 2 dư 1. Câu 2. (4,0 điểm) 1) Tìm hai số nguyên dương x, y thỏa mãn: x y 4 40x 1 . 2) Giải phương trình: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . x2 x y2 y z2 z m2 2n 2) Cho m,n là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn 2 . n 2m Chứng minh: m 2 n2 24mn . Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam ABC vuông tại A, có đường cao AH và trung tuyến BN. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BN cắt BN và BC lần lượt tại K và M. Chứng minh rằng: 1 1 4 a) . AK 2 AB2 AC 2 b) B· KH B· AH 2 1 1 c) . MB BH BC Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình vuông có cạnh bằng 2023cm. Bên trong hình vuông, người ta lấy 2022 điểm phân biệt sao cho trong 2026 điểm (tính cả 4 đỉnh hình vuông) không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng, tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 2023 2026 điểm đã cho (tính cả 4 đỉnh hình vuông) có diện tích không lớn hơn cm2. 2 Hết
2. ĐÁP ÁN HSG TRƯỜNG VÒNG 2 Câu 1. a) Ta có: 1 2x 1 2y 1 1 2x 1 y 1 2y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y 1 y 2x 2xy 1 x 2y 2xy 1 x y xy 3xy 2x 2y 1 M x2 y2 xy x y 2 3xy x y 2 2x 2y 1 x y 2 2 x y 1 x y 1 2 Mà x, y là các số hữu tỷ khác 1 M x2 y2 xy là bình phương của một số hữu tỷ (đpcm). b) Gọi dư của phép chia f x cho x 1 x 2 là ax b. Ta có: f x p x . x 1 7 q x . x 2 1 k x x 1 x 2 ax b. a b 7 3a 6 a 2 Thay x 1, x 2 được: . 2a b 1 b 7 1 b 5 Dư cần tìm là: 2x 5. Câu 2. 1) Vì x; y N * x y 4 40x 1 40x 40y 40 x y x y 3 40 x y 4 Do đó: 2 x y 4 Mặt khác: 40x 1là số lẻ nên x y 4 là số lẻ x y là số lẻ Ta có: 2 x y 4 , x y là số lẻ x y 3 Từ đó: x; y 2;1 ; 1;2  Thử lại chỉ có cặp số x; y 2;1 thỏa mãn bài toán . Vậy x 2; y 1. 2) Ta có: 3x 2 x 1 2 3x 8 16 3x 2 9 x 1 2 3x 8 144 3x 2 3x 3 2 3x 8 144 Đặt 3x 3 t 3x 2 t 5, 3x 8 t 5, ta có phương trình: t 5 t 2 t 5 144 t 2 25 t 2 144 t 4 25t 2 144 0 t 2 9 t 2 16 0 t 2 9 t 3 2 t 16 t 4 Với t 3 3x 3 3 x 0 Với t 3 3x 3 3 x 2
3. 1 Với t 4 3x 3 4 x 3 7 Với t 4 3x 3 4 x 3 1 7  Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0; 2; ;  . 3 3  Câu 3 1 1 1 1 1 1 a) P x2 x y2 y z2 z x(x 1) y(y 1) z(z 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 9 1 1 1 1 Áp dụng BĐT và . với a,b,c dương, dấu bằng a b c a b c a b 4 a b xảy ra a b c. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có . 1 ; . 1 ; . 1 x 1 4 x y 1 4 y z 1 4 z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bởi vậy P . 1 1 1 x y z x 1 y 1 z 1 x y z 4 x y z 3 1 1 1 3 3 9 3 9 3 3 = . . . 4 x y z 4 4 x y z 4 4 4 2 3 Vậy Min P= . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 1. 2 b) +) Vì m,n là hai số nguyên dương lẻ nên ta đặt m 2a 1, n 2b 1 a,b ¥ . Khi đó ta có: m2 n2 2 4 a2 b2 4 a b 44 1 2 m 2n 2 2 2 2 2 2 2 2 +) Vì 2 nên m 2 n 2 mn m n 2 m n 2 mn 2 m n 2 mn n 2m Vì m,n lẻ nên 2,mn 1. Do đó m2 n2 2mn 2 Từ 1 , 2 và 4,mn 1 nên suy ra m2 n2 24mn . Câu 4.
4. A N K B C H M I 1 1 1 a) Dễ dàng chứng minh được . mà AC = 2.AN AK 2 AB2 AN 2 1 1 4 . AK 2 AB2 AC 2 AB BN b) Chứng minh được BKA ∽ BAN (g.g) AB2 BK.BN (1) BK AB AB BC Chứng minh được BHA ∽ BAC (g.g) AB2 BH.BC (2) BH AB BH BN Từ (1) và (2) suy ra BK.BN = BH.BC BK BC BH BN Xét BHK và BNC , có: N· BC chung và BK BC Suy ra BHK ∽ BNC B· KH ·ACB mà B· AH ·ACB B· KH B· AH c) Kẻ NI  BC tại I, ta có AH//NI (vì cùng vuông góc với BC) Vì N là trung điểm của AC nên I là trung điểm của HC Chứng minh được BKM ∽ BIN (g.g) suy ra được MB.BI = BK.BN(3) Từ (1), (2) và (3) ta có BM.BI = BH.BC BM.2BI = 2BH.BC 2 1 1 BM.(BH + BC) = 2BH.BC BM BH BC Câu 5. Số tam giác được tạo thành: 4 + 2.2021 = 4046 Mà tổng diện tích của 4046 tam giác này bằng 20232 cm2 20232 2023 Nên tồn tại 1 tam giác có diện tích không lớn hơn cm2 4046 2