Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 (Vòng 2) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS huyện Diễn Châu (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 8 (Vòng 2) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS huyện Diễn Châu (Có hướng dẫn chấm)

1. LIÊN TRƯỜNG THCS HUYỆN DIỄN CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 8 VÒNG 2 NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn Toán – Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. (4.0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n 18và n 41là hai số chính phương. 3 b) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng a 2023a chia hết cho 6. Bài 2. (4.0 điểm) Cho biểu thức : 1 6x 3 2 A 3 2 : x 2 x 1 x 1 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định của A, rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài 3. (5.0 điểm) a) Giải phương trình: (x 3)4 (x 5)4 16 b) Tìm đa thức dư khi chia đa thức x20 x10 x5 1 cho đa thức x2 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = xy(xy 8) 5x2 3y2 2x 8y 2036 Bài 4. (6.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC có AD là tia phân giác của B· AC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC,E là giao điểm của BN và DM , F là giao điểm của CM và DN. a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF / /BC. b) Gọi H là giao điểm của BN và CM.Chứng minh H là trực tâm AEF c) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm BI AO DM của BK và AD là I.Chứng minh : 9 KI KO KM Bài 5. (1.0 điểm) Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân. Hết Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh SBD:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 8 VÒNG II NĂM HỌC 2022-2023 ( Hướng dẫn chấm này có 04 trang ) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a a) Tìm số tự nhiên n để n 18và n 41là hai số chính phương. 2.0 4.0 2.0 đ Để n 18và n 41 là hai số chính phương n 18 p2 và n 41 q2 p,q ¥ 0.25 p2 q2 n 18 n 41 59 p q p q 59 0.5 p q 1 p 30 0.5 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: p q 59 q 29 Từ n 18 p2 302 900 n 882 0.5 Thay vào n 41, ta được 882 41 841 292 q2 0.25 Vậy với n 882 thì n 18và n 41là hai số chính phương 3 b b) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng a 2023a chia hết cho 2.0 2.0 6. Ta có a3 2023a (a3 a) 2022a 0.5 (a 1)a(a 1) 2022a 0.5 Trong đó (a 1)a(a 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, mà (2;3) = 1 nên 0.5 (a 1)a(a 1)6; 2022a6. 3 0.5 Vậy a 2023a6 2 a 2. Cho biểu thức : 2.5 4,0 2,5 1 6x 3 2 A 3 2 : x 2 đ x 1 x 1 x x 1 a. Tìm điều kiện xác định của A,rút gọn A a. ĐK: x 1; x 2 0.5 x2 x 1 6x 3 2x 2 1 1.0 A . x3 1 x 2 x 2 x 1 1 1.0 x 1 x 2 x2 x 1 x2 x 1 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. 1.5
3. 2 0.5 1 2 1 3 3 A 2 ; Vì 1 0; x x 1 x 0 x x 1 2 4 4 3 1 0.5 Ađạt GTLN x2 x 1đạt GTNN x2 x 1 x tm 4 2 4 4 1 0.5 Lúc đó A . Vậy GTLN của Alà A khi x 3 3 2 3 a a) Giải phương trình: (x 3)4 (x 5)4 16 2.0 4,5 2.0 Đặt x + 4 = t 4 4 đ Phương trình đã cho trở thành (t 1) (t 1) 16 0,5 t 4 4t3 6t 2 4t 1 t 4 4t3 6t 2 4t 1 16 0,5 t 4 6t 2 7 0 (t 2 7)(t 2 1) 0 0,5 Vì t 2 7 0 t 2 1 0 t 1 x 3; x 5 0,5 b b) Tìm đa thức dư khi chia đa thức x20 x10 x5 1 cho đa thức x2 1 1.5 1,5 Vì đa thức chia bậc 2 nên đa thức dư có dạng ax+b, gọi đa thức thương là Q(x), khi đó ta có: 0.5 x20 x10 x5 1 (x2 1)Q(x) ax+b (1) Thay x =1 vào (1) ta được: a b 4 0.5 Thay x= -1 vào (1) ta được a b 2 Từ đó suy ra a 1;b 3 0.5 Vậy đa thức dư là: x+3 b c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1,5 B = xy(xy 8) 5x2 3y2 2x 8y 2036 1,5 B x2 y2 8xy 5x2 3y2 2x 8y 2036 (x2 y2 4xy 4) (4x2 4xy y2 ) (x2 2x 1) 2(y2 4y 4) 2023 0,5 (xy 2)2 (2x y)2 (x 1)2 2(y 2)2 2023 0.5 Vì (xy 2)2 0;(2x y)2 0;(x 1)2 0;2(y 2)2 0 nên B 2023 Dấu = xảy ra x 1; y 2. Vậy Bmin 2023 x 1; y 2 0,5 Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC có AD là tia phân 6,0 4 giác của B· AC . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và 7,0 AC,E là giao điểm của BN và DM , F là giao điểm của CM và DN. đ a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và EF / /BC. b) Gọi H là giao điểm của BN và CM.Chứng minh H là trực tâm AEF c) Gọi giao điểm của AH và DM là K, giao điểm của AH và BC là O, giao điểm của BK và AD là I.Chứng minh : BI AO DM 9 KI KO KM
4. a *Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông 3.0 +) Chứng minh ·AMD 900; ·AND 900;M· AN 900 1.0 Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật · +)Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của MAN nên tứ giác 0.5 AMDN là hình vuông. *Chứng minh EF // BC FM DB 0.25 +) Chứng minh : (1) FC DC DB MB Chứng minh: (2) 0.25 DC MA MB MB Vì AM DN (3) 0.25 MA DN MB EM Chứng minh (4) DN ED 0.25 EM FM Từ 1 , 2 , 3 , 4 suy ra EF / /BC ED FC 0.5 b Chứng minh H là trực tâm AEF 1.5 + Chứng minh ANB : NFA AN DN Vì AN DN.suy ra (5) AB AB DN CN Chứng minh (6) AB CA CN FN Chứng minh (7) CA AM FN FN Chứng minh AM AN.Suy ra (8) AM AN AN FN Từ (5) (6) (7) (8) suy ra ANB : NFA c.g.c AB AN
5. 0.75 + Vì ANB : NFA nên N· BA F· AN Mà B· AF F· AN 900 N· BA B· AF 900 0.5 Suy ra EH  AF , Tương tự: FH  AE , suy ra H là trực tâm AEF 0.25 c Đặt S a,S b,S c.Khi đó: 1.5 AKD BKD AKB S S S a b c a b c a b c ABD ABD ABD SAKD SBDK SAKB a b c b a a c b c 3 a b c a c b 0.5 b a Theo định lý AM-GM ta có: 2 a b a c b c Tương tự : 2 ; 2 c a c b BI AO DM Suy ra 9 0.5 KI KO KM Dấu " "xảy ra khi và chỉ khi ABD là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết. BI AO DM Vậy 9 KI KO KM 0.5 2. Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác 1,0 bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn 1.0 đ cùng một màu tạo thành một tam giác cân. Ta có đa giác 2023 cạnh nên có 2023 đỉnh. Do đó phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là P và Q được sơn bởi cùng một màu – màu đỏ (Theo nguyên lý Dirichle) Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ, nên phải tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ.Giả sử đỉnh đó là A. Nếu A tô màu đỏ thì ta có tam giác APQ là tam giác cân có 3 đỉnh 0.5 A,P,Q được tô cùng màu đỏ. Nếu A tô màu xanh, lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác kề với P và Q. Nếu cả hai đỉnh B và C được tô màu xanh thì tam giác ABC cân và có 3 đỉnh cùng tô màu xanh. Nếu ngược lại, một trong hai đỉnh B và C mà tô màu đỏ thì tam giác BPQ hoặc tam giác CPQ là tam giác cân có 3 đỉnh được tô màu đỏ 0,5 Lưu ý: - Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4. - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.