Đề thi học sinh giỏi lần thứ 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thành phố Thủ Đức (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi lần thứ 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thành phố Thủ Đức (Có đáp án)

1. ỦY BAN NHÂN DÂN KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ II THÀNH PHỐ THỦ ĐỨC NĂM HỌC 2022 – 2023 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TOÁN – LỚP 8 Ngày thi: 18/3/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 01 trang) (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử: a) x2 – 2024x + 2023 b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Câu 2. (4 điểm) 1 1 1 a) Cho ba số x; y; z đôi một khác nhau thỏa mãn 0 . x y z yz zx xy Hãy tính giá trị của biểu thức: A x2 2yz y 2 2zx z 2 2xy b) Cho ba số a, b, c 0 thỏa mãn a + b + c = 0 a2 b 2 c 2 Hãy tính giá trị của biểu thức: B b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 Câu 3. (4 điểm) Giải các phương trình a) x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 = 0 13 x 2 x x b) 1 2010 2021 2023 Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BFC BDA và BFD ACB b) Tia EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: CD.FK = CK.FD c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với HM, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB, AD, AC lần lượt tại P, Q, R. Chứng minh: PQ = QR. Câu 5. (1 điểm) Hai địa điểm A và B cách nhau 200 km. Cùng một lúc một xe ô tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B đi ngược chiều nhau. Xe ô tô và xe máy gặp nhau tại điểm C cách A 120 km. Nếu xe ô tô khởi hành sau xe máy một giờ thì sẽ gặp nhau tại điểm D cách C một khoảng là bao nhiêu km? Biết rằng vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h. Câu 6. (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi I là điểm nằm trong tứ giác ABCD. Tính diện tích tứ giác ABCD biết 2 2 2 SAMIQ = 32 (cm ), SBMIN = 50 (cm ) và SDPIQ = 20 (cm ) Hết (Thí sinh không sử dụng tài liệu, Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 – MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2022 – 2023 Biểu Câu Nội dung điểm Phân tích đa thức thành nhân tử 1a a) x2 – 2024x + 2023 = x2 – x – 2023x + 2023 = x(x – 1) – 2023(x – 1) 1+0,5 = (x – 1)(x – 2023) 0,5 b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Đặt a = x – y; b = y – z; c = z – x a + b + c = 0 a + b = – c 0,5 1b (a + b)3 = – c3 a3 + b3 + c3 = 3abc 0,5x2 Vậy (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 0,5 1 1 1 Cho ba số x; y; z đôi một khác nhau thỏa mãn 0 . x y z yz zx xy Tính: A 2 2 2 x 2yz y 2zx z 2xy 1 1 1 yz xz xy ĐK: x, y, z 0. Ta có 0 xy yz zx 0 x y z xyz 0,25 yz = – xz – xy; xy = – yz – zx; zx = – xy – yz yz yz yz yz yz 2 2 0,25 x 2yz x yz xy zx x(x y) z(x y) (x y)(z x) (x y)(z x) zx zx xy xy 0,25 Tương tự 2 và 2 2a y 2zx (y z)(x y) z 2xy (z x)(y z) yz zx xy yz(y z) zx(z x) xy(x y) A 0,25 (x y)(z x) (y z)(x y) (z x)(y z) (x y)(y z)(z x) [yz(y z) zx(z x) xy(x y)] yz(y z) zx(z y y x) xy(x y) (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) yz(y z) zx(y z) zx(x y) xy(x y)  (y z)(yz zx) (x y)(xy zx) 0,5 (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x)  (y z)z(x y) (x y)x(y z) (x y)(y z)(z x) 1 (x y)(y z)(z x) (x y)(y z)(z x) 0,5 Cho ba số a, b, c 0 thỏa mãn a + b + c = 0 a2 b 2 c 2 Tính B 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c a b a b c 2 2 2 2 2 Ta có a + b + c = 0 b + c = – a (b + c) = a b + c – a = – 2bc 0,5 2b Tương tự c2 + a2 – b2 = – 2ca; a2 + b2 – c2 = – 2ab Mặt khác a + b + c = 0 a + b = – c (a + b)3 = – c3 a3 + b3 + c3 = – 3ab(a + b) a3 + b3 + c3 = 3abc 0,5 a2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 3abc 3 B 2bc 2ca 2ab 2abc 2abc 2 0,5x2 a) x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12 = 0 x4 – 2x3 + 4x3 – 8x2 + x2 – 2x – 6x + 12 = 0 x3(x – 2) + 4x2(x – 2) + x(x – 2) – 6(x – 2) = 0 (x – 2)(x3 + 4x2 + x – 6) = 0 0,5 3a (x – 2)(x3 – x2 + 5x2 – 5x + 6x – 6) = 0 (x – 2)[x2(x – 1) + 5x(x – 1) + 6(x – 1)] = 0 (x – 2)(x – 1)(x2 + 5x + 6) = 0 0,5 (x – 2)(x – 1)(x2 + 2x + 3x + 6) = 0
3. (x – 2)(x – 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)] = 0 0,5 (x – 2)(x – 1)(x + 2)(x + 3) = 0 0,5 x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = – 2 hoặc x = – 3 13 x 2 x x 13 x 2 x x 1 1 1 1 2010 2021 2023 2010 2021 2023 0,5 2023 x 2023 x 2023 x 1 1 1 (2023 x) 0 0,5 3b 2010 2021 2023 2010 2021 2023 1 1 1 2023 x 0 vì 0 0,5 2010 2021 2023 x 2023 0,5 A E F H R D M K B C Q P Chứng minh được BFC BDA (gg) 1 4a Chứng minh được BFD BCA (cgc) BFD BCA (góc t/ư) 1 Chứng minh được AFE ACB (cgc) AFE ACB (góc t/ư) Mà BFD ACB (cmt), AFE KFB (đối đỉnh) KFB BFD 4b FB là phân giác trong của KFD; Có FB  FC (CF  AB) FC là phân giác ngoài của KFD 1 CD FD CD.FK CK.FD 1 CK FK HM BM Chứng minh được BMH AQR (gg) (1) QR AQ 1 CM HM 4c Chứng minh được CMH AQP (gg) (2) mà BM = CM (3) 0,5 AQ PQ HM HM Từ (1), (2), (3) PQ = QR 0,5 PQ QR Gọi x (km/h) là vận tốc ô tô (x > 20) Vận tốc xe máy x – 20 (km/h) 120 80 Thời gian ô tô đi từ A đến C: (h), thời gian xe máy đi từ B đến C: (h) x x 20 120 80 Theo đề bài ta có phương trình: 120(x 20) 80x x 60 (nhận) x x 20 5 Vậy vận tốc ô tô là 60 (km/h), vận tốc xe máy là 60 – 20 = 40 (km/h) 0,25x2 G ọ i t (h) là thời gian xe máy đi dừ B đến D (t > 1) Thời gian ô tô đi từ A đến D là t – 1 (h) Theo đề bài ta có phương trình: 60(t – 1) + 40t = 200 t = 2,6 (nhận) Quãng đường từ B đến D là: 40.2,6 = 104 (km) 0,25 Khoảng cách giữa D và C là: 104 – 80 = 24 (km) 0,25
4. B M A 12 + x 12 + x 38 - x 20 - x N Q 32 50 20 - x 38 - x 20 I 6 x x D P C M là trung điểm của AB MA = MB S = S (chung đường cao kẻ từ I) AIM BIM Tương tự S = S ; S = S ; S = S BIN CIN CIP DIP DIQ AIQ Gọi S = S = x S = S = 20 – x S = S = 32 – (20 – x) = 12 + x CIP DIP DIQ AIQ AIM BIM SBIN = SCIN = 50 – (12 + x) = 38 – x 2 0,5 SCNIP = SCIP + SCNI = x + 38 – x = 38 (cm ) 2 0,5 Vậy SABCD = SAMIQ + SBMIN + SCNIP + SDPIQ = 32 + 50 + 38 + 20 = 140 (cm ) Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, chính xác giáo viên cho trọn điểm. Hết