Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Đề số 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Đề số 1 (Có đáp án)

1. ĐỀ 1 Câu 1. ( 2,0 điểm) Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A. Câu 2. ( 1,0 điểm) Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27. Câu 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. Câu 4. ( 1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố. Câu 5. ( 1,5 điểm) a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. Câu 6. ( 1,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x - y = -6. Câu 7. ( 2,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a. Tính BD. b. Biết . c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.
2. Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 Câu Đáp án Điểm A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 21 2 . 0,5 Nên A.2 - A = 221 -2 0,5 Câu 1 A = 221 - 2 (2,0 điểm) Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2 5 5 16 có tận cùng là 6 . Nên 16 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận 0,5 cùng là 2. 0,5 Vậy A có tận cùng là 2. Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27. 0,25 Câu 2. 0,25 (1,0 điểm) 0,25 0,25 Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5. 0,25 TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5 tích chia hết cho 5. 0,25 Câu 3 TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2 (1,5 điểm) 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5 tích chia hết cho 5. 0,25 TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5 tích chia hết cho 5. 0,25 TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4 n +1= 5k + 5 chia hết cho 5 tích chia hết cho 5. 0,25 Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. 0,25
3. Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số nguyên tố lẻ ( vì pq + 11 > 2) pq là số chẵn ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2. 0,25 + Giả sử p = 2. Khi đó 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11. Câu 4 Thử q = 2( loại) 0,25 q = 3( t/m) (1,0 điểm) q > 3 có 1 số là hợp số. p = 2 và q = 3. 0,25 + Giả sử q = 2. Giải TT như trên ta được p = 3. Vậy p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2. 0,25 a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 d, 8n - 1 d. 8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) d 31 d d = 1 hoặc 31. 0,25 Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d ≠ 31. Mà 7n + 3 31 7n + 3 - 31 31 7(n - 4) 31 n – 4 31( vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau) n = 31k + 4( với k là số tự nhiên) Do đó d ≠ 31 n ≠ 31k + 4. Vậy hai số 7n +3, 8n – 1 nguyên tố cùng nhau khi n ≠ 31k + 4( với k là 0,25 số tự nhiên). 0,25 b) Gọi hai số phải tìm là a và b ( a, b N* , a > b) Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k và b = 28q . Trong đó k, q N*và Câu 5 k, q nguyên tố cùng nhau. (1,5 điểm) Ta có : a - b = 84 0,25 k - q = 3 Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 10 < q < k <16. Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15. Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau. nên q = 11và k = 14. Ta có : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392 Vậy hai số phải tìm là 308 và 392. 0,25 0,25 xy – 2x - y = -6 (x – 1)( y - 2) = -4. Với x, y là số nguyên, ta có bảng: 0,5 Câu 6 x - 1 -1 1 -2 2 -4 4 (1,0 điểm) y - 2 4 -4 2 -2 1 -1 x 0 2 -1 3 -3 5
4. y 6 -2 4 0 3 1 Vậy các số x, y thỏa mãn là: ( x,y) {( 0;6); (2;-2); (-1;4) } 0,5 0,25 a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax A nằm giữa D và B BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm) 0,25 b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD Câu 7 Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD (2,0 điểm) => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350 0,5 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm) 0, 5 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB KB = 5 + 1 = 6 (cm) * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm 0, 5 (Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)