Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Yên Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Yên Định (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP CỤM YÊN ĐỊNH Năm học 2020 - 2021 Môn: Toán 6 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I: (5,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính: A=1+2 3 4+5+6 7 8+9+ +2018 2019 2020 2. Tính tổng A = 1.2 + 2.3 +3.4 + . . . + 2013. 2014 Câu II: (5,0 điểm) 1. Tìm x, biết: 2x 1 2 x 2 x 1 112 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : 6xy – 10 x +3y =12 3. Tìm các số a, b, c không âm, sao cho a + 3c = 8, a + 2b = 9 và tổng a + b + c có giá trị lớn nhất. Câu III: (3,0 điểm) 1. Cho S = 5 52 53 54 55 56 52016 . Chứng tỏ rằng S chia hết cho 65. 2. Cho a là một hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa hai thừa số 3 2 nguyên tố khác nhau là p1 và p2. Biết a có tất cả 40 ước, hỏi a có bao nhiêu ước? Câu IV: (6,0 điểm) 1.Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2cm. a. Chứng tỏ rằng điểm I nằm giữa A và K. b. Tính IK. 2014 2. Cho AB=2 cm. Gọi C 1 là trung điểm của AB; Gọi C 2 là trung điểm của A C 1 ; Gọi C 3 là trung điểm của AC 2 ; ; Gọi C 2014 là trung điểm của AC 2013 . Tính C 1 C 2014 . 3. Cho 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Câu V: (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225. Hết Họ Tên Thí Sinh: SBD Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP CỤM YÊN ĐỊNH Năm học 2020 - 2021 Hướng dẫn chấm Môn: Toán 6 Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Câu Nội dung Điểm 1 a. Từ 1, 2, 3, , 2020 có 2020 số. Nhóm 4 số thành 1 nhóm ta được 2020: 4 = 505 (nhóm) A= 1+2 - 3 - 4+5+6 – 7 - 8+9+ +2018 – 2019 - 2020 3.0 A = ( 1+2 - 3 – 4) + (5 +6 – 7 – 8) + +(2017 +2018 – 2019 – 2020) = -2020 I (5,0đ) 2. ta có 3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ +2013.2014.3 0,5 3A=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+ +2013.2014.(2015-2012) 0,5 3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +2013.2014.2015-2012.2013.2014 0,5 3A=2013.2014.2015 0,5 ->A=2723058910 1 Ta có: 2x-1 +2x-1.2+2x-1.22 =112 0,5 2x-1(1+2+22) = 112 2x 1 .7 112 0,5 2x 1 112 : 7 x 1 2 16 x 1 4 0,5 2 2 x 1 4 x 5 0,5 2. Ta có: 6xy-10x +3y -5 =7 2x(3y-5) +(3y-5) = 7 0,5 2x 1 3y 5 7 2x 1 3y 5 1.7 7.1 1 . 7 7 . 1 II 0.5 (5,0đ) Lập bảng: 2x + 1 1 7 -1 -7 3y – 5 7 1 -7 -1 X 0 3 -1 -4 0.5 2 4 Y 4 2 3 3 Thỏa mãn Thỏa mãn Loại Loại Vậy các cặp số (x; y) là: (0; 4), (3; 2). 0,5 3. Từ a + 3c = 8, a + 2b = 9 suy ra 2a + 2b + 3c = 17 Hay 2(a + b + c) + c = 17 0,25 Để a + b + c lớn nhất, phải có c nhỏ nhất, mà c 0 nên c = 0. 0,25 1 17 Khi đó a = 8, b = . Giá trị lớn nhất của a + b + c = . 2 2 0,5 2 3 4 3 3 III 1. Ta có: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 130 5.130 0,5 (3,0đ) 5 52 53 54 chia hết cho 130. 2
3. S = 5 52 53 54 55 56 52016 0,5 5 52 53 54 54 5 52 53 54 52012 5 52 53 54 Tổng trên có 504 số hạng chia hết cho 130 nên S chia hết cho 130. 0,5 Do S chia hết cho 130 nên S chia hết cho 65. 0.5 m n 3 3m 3n 3 2. a p1 .p2 a p1 .p2 . Số ước của a là 40 nên ta có: 3m 1 3n 1 40 0,5 => m = 1; n = 3 hoặc m = 3; n = 1. 2 2m 2n 0,5 Số a p1 .p2 có số ước là: 2m 1 2n 1 3.7 21. 1. Ta có điểm K và A cùng thuộc tia BA mà BK < BA ( vì 2cm < 7cm) nên điểm K nằm giữa A và B AK+KB=AB AK=AB - KB=7 - 2=5 cm 2đ Vậy AK=5cm mà AI=4cm nên AI < AK mà hai điểm I và K cùng thuộc tia AB nên điểm I nằm giữa hai điểm A và K b)Do điểm I nằm giữa hai điểm A và K nên ta có 2đ AI+IK = AK IK=AK-AI=5 - 4=1cm. IV Vậy IK=1cm (6,0đ) A I K B 2013 2. Vì C 1 là trung điểm của AB nên AC 1 =AB/2 = 2 (1) Vì C là trung điểm của A C nên AC = AC /2=AB/2 2 (2) 2 1 2 1 Vì C à trung điểm của A C nên AC = AC /2=AB/2 3 (3) 3 2 3 2 vì C là trung điểm của AC nên AC = AB/2 2014 = 2 2014 /2 2014 =1; (2014) 2014 2013 2014 1đ Từ (1), (2),(3), ,(2014) suy ra C 2014 nằm giữa A và C 1 Do đó AC 2014 + C 1 C 2014 =AC 1 2013 Vậy C 1 C 2014 =2 -1 3. Chia 100 điểm thành 2 tập hợp: tập hợp A gồm 3 điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm còn lại. Số đường thẳng trong tập hợp A là 1. 3
4. 97.96 Số đường thẳng trong tập hợp B là 4656 . 1đ 2 Số đường thẳng qua 1 điểm thuộc tập hợp A và 1 điểm thuộc tập hợp B là 3.97 = 291. Vậy số đường thẳng đi qua 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng là : 1 + 4656 + 291 = 4948 đường thẳng Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên 100a 3b 1 và 2a 10a b cùng lẻ (2) V *) Với a = 0:(1) (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 3b 1 25 b 8 1 b 9 1đ *) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2) 3b + 1 lẻ b chẵn 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b  (1đ) Vậy: a = 0 ; b = 8 Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh giải bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 4