Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Nga Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Nga Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 HUYỆN NGA SƠN NĂM HỌC 2017-2018 TRƯỜNG THCS NGA THẮNG MÔN THI: TOÁN Ngày thi: /03/2018 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Câu 1: (4,5 điểm). 4 2 2 3 3 2 a) Tính giá trị của biểu thức A:: 7 5 3 7 5 3 1 b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với x . 2 xyyz c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110. 3725 Câu 2: (4,5 điểm). a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng: 5 5 1 31 1 4 :2 7 x 3:3,2 4,5.1 : 21 9 18 5 45 2 1 1 1 1 1 b) T×m x, biÕt: x x x x x 11x 2 6 12 20 110 c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa mãn: x 1 + (y + 2)20 = 0 Câu 3: (3,5 điểm). a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45. Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Chứng minh rằng: góc DIB = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Câu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, , a20 có các tính chất sau: * a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương. * Tổng của 20 số đó là số âm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. Hết Giám thị xem thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2017-2018 MÔN : TOÁN. Nội dung Điểm 4 2 2 3 3 2 A:: 7 5 3 7 5 3 4 2 3 3 2 0,75 đ a = : 7 5 7 5 3 (1,5) 0,5đ 4 3 2 3 2 2 : 0: 0 7 7 5 5 3 3 0,25đ Vậy : A = 0 1 1 0,75 đ Vì x nên x = hoặc x = - 2 2 0,25đ Với x = thì: A = 2.( )2 – 3. + 1 = 0 CÂU 1 (4,5đ) b (1,5) 0,25đ 2 Với x = - thì: A = 2.(- ) – 3.(- ) + 1 = 3 0,25đ Vậy : A=0 với x = và A=3 với x = - x y x y y z y z x y z 0,5đ Từ ; . Suy ra 3 7 6 14 2 5 14 35 6 14 35 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: c x y z 110 (1,5) = -2 0,5đ 6 14 35 55 0,25đ Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70. 0,25đ Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70. 5 5 41 18 0,5đ 2) Ta có: 4 : 2 7 . 7 2 7 5 9 18 9 41 Lạicó: a 1 31 1 16 5 9 76 43 38 2 43 2 2 0,5đ (1,5) 3:3,24,5.1 :21 . . : 1 . . 5 45 2 516245 2 5435435 0,5đ 2 Do đó: - 5 < x < mà x Z nên x {-4; -3; -2; -1} CÂU 2 5 (4,5đ) a) NhËn xÐt: VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc lu«n 0 nªn vÕ ph¶i 0 0,75đ suy ra 11x 0 hay x 0. b víi x 0 ta cã: (2,0) 0,75đ 0,25đ
3. 1 1 1 1 1 x x x x x 11 x 0,25đ 2 6 12 20 110 1 1 1 1 1 x x x x x 11 x 2 6 12 20 110 1 10 suy ra x = 1- = (TM) 11 11 Vậy:x = 1) Do x 1 ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y. 0,25 đ 20 20 Kết hợp + (y + 2) = 0 suy ra = 0 và (y + 2) = 0 0,25đ c x = 1; y = - 2. (1,0) Giá trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 0,25 đ là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057 0,25đ Vậy C=2057 Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng quát, giả sử a b c 9. 0,25 đ Ta có 1 a + b + c 27 . Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9, do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27. 0,5 đ a b c a b c a Theo đề bài ta có: ; 0,25 đ (1,5) 1 2 3 6 Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18. 0,25 đ Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9. Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, 0,25 đ CÂU 3 vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936. (3,5đ) Nhận xét: Với x ≥ 0 thì x + x = 2x 0,5 đ Với x < 0 thì + x = 0. Do đó + x luôn là số chẵn với  x Z. Áp dụng nhận xét trên thì b 45 + b – 45 là số chẵn với b Z. 0,25 đ b 0,25 đ Suy ra 2a + 37 là số chẵn 2a lẻ a = 0 . (2,0) 0,25 đ Khi đó + b – 45 = 38 0,25 đ + Nếu b < 45, ta có - (b – 45) + b – 45 = 38 0 = 38 (loại) 0,25 đ + Nếu b ≥ 45 , ta có 2(b – 45) = 38 b – 45 = 19 b = 64 (TM) 0,25 đ vậy (a; b) = (0; 64) CÂU 4 a (6,0đ) (1,0)
4. E 0,75 đ 0,25 đ A D K I C B Ta có: AD = AB; DAC BAE và AC = AE Suy ra ADC = ABE (c.g.c) 0,5 đ Từ ADC = ABE (câu a) ABE ADC, b 0,5 đ (1,5) mà BKI AKD(đối đỉnh). 0,5 đ Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK = 600 (đpcm) E A D J N c K M (1,5) I C B Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và ACM AEN 0,5 đ 0,5 đ ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM EAN 0,5 đ MAN CAE = 600. Do đó AMN đều. d Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI và JBI DBA (2,0) 0 = 60 suy ra IBA JBD, kết hợp BA = BD IBA = JBD (c.g.c) AIB DJB = 1200 mà BID = 600 DIA = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE Ta có : a1 + (a2 + a3 + a4) + + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0,5 đ 0 ; a + a + a > 0 => a a13 + a14 0 => a12 > 0. 0,25 đ Từ các điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm). 0,25 đ Chú ý: +)Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. +)Nếu HS thiếu đáp số trừ 0,25 điểm. +)Câu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giá trị trừ 0,1 điểm. +)Câu 2b);3b) Không kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.