Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ BÀI Câu 1. ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên n để: 3 2 a) A n n n 1 là số nguyên tố n4 3n3 2n2 6n 2 b) B có giá trị là một số nguyên n2 2 5 c) D n n 2 là số chính phương. Câu 2. (5 điểm) Chứng minh rằng: a b c 1 a) ab a 1 bc b 1 ac c 1 biết abc 1 2 b) Với a b c 0 thì a4 b4 c4 2 ab bc ca a2 b2 c2 c b a 2 2 2 c) b c a b a c Câu 3. (5 điểm) Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 6 a) 86 84 82 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 b) 2 2 c) x y 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương. Câu 4. (5 diểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD , O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DAtại E, cắt BC tại F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AODbằng diện tích tam giác BOC 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF ĐÁP ÁN Câu 1.
2. A n3 n2 n 1 n2 1 n 1 a) Để A là nguyên tố thì n 1 1 n 2 . Khi đó A 5 2 2 B n 3n 2 b) n 2 B có giá trị nguyên 2n2 2 n2 2 1 n2 1(ktm) n2 2 là ước tự nhiên của 2 2 n 2 2 n 0 (tm) Vậy với n 0thì B có giá trị nguyên. c) D n5 n 2 n n4 1 2 n n 1 n 1 n2 1 2 2 n n 1 n 1 n 4 5 2 n n 1 n 1 n 2 n 2 5n n 1 n 1 2 Mà n n 1 n 1 n 2 n 2 5(tích 5 số tự nhiên liên tiếp) Và 5n n 1 n 1 5. Vậy D chia 5 dư 2 Do đó D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương. Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương. Câu 2. a) a b c ac abc c ab a 1 bc b 1 ac c 1 abc ac c abc2 abc ac ac c 1 ac abc c abc ac 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 b) a b c 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc (1) a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 4 a2b2 a2c2 b2c2 8abc a b c (Vì a b c 0 ) 2 ab ac bc 2 a2b2 a2c2 b2c2 (2) 2 Từ (1) và (2) a4 b4 c4 2 ab ac bc 2 2 c) Áp dụng bất đẳng thức x y 2xy . Dấu bằng xảy ra khi x y
3. a2 b2 a b a 2. . 2. b2 c2 b c c a2 c2 a c c 2. . 2. b2 a2 b a b c2 b2 c b b 2. . 2. a2 c2 a c a Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a2 b2 c2 a c b a2 b2 c2 a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c b a b c a c b a Dấu " "xảy ra khi a b c Câu 3. a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 x 300 0 x 300 86 84 82 Vậy S 300 b) 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 64x2 16x 1 8x2 2x 9 64x2 16x 1 64x2 16x 72 1 Đặt 64x2 16x k 2 Ta có: k 0,5 k 0,5 72 k 2 72,25 k 8,5 Với k 8,5ta có phương trình : 1 x 2 2 64x 16x 8 0 2x 1 4x 1 0 1 x 4 Với k 8,5 ta có phương trình:
4. 2 64x2 16x 9 0 8x 1 8 0(vô nghiệm) 1 1 Vậy S ;  2 4 x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 c) x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 x 3 x y 3 7 và x y 1 1 y 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x; y 3;1 Câu 4. A B E K F I O M N D C a) Vì AB / /CD SDAB SCBA (cùng đáy và cùng đường cao) SDAB SAOB SCBA SAOB hay SAOD SBOC EO AO EO / /DC . b) Vì DC AC Mặt khác AB / /DC AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM, dựng EN / /MK N DF Kẻ đường thẳng KN là đường phải dựng. Chứng minh: SEDM SEFM (1)
5. Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE SIMN 2 Từ (1) và (2) suy ra SDEKN SKFN