Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD và ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD và ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

1. C SINH IỎI P 8 – 2013 Môn: Toán Bµi 1. (3 ®iÓm). Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). x 2 1 10 x2 Bµi 2. (6 ®iÓm). Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A, biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bµi 3. (5 điểm) a. Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y 2 z 2 b. Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng: 1. a b c x y z a2 b 2 c 2 Bµi 4. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 2a3 3a2 4a 5. Bài 5. (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a. Chứng minh rằng OM = ON. 1 1 2 b. Chứng minh rằng . AB CD MN 2 2 c. Biết SAOB= 2012 (đơn vị diện tích); SCOD= 2013 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. L•u ý: ThÝ sinh kh«ng ®•îc sö dông M¸y tÝnh cÇm tay. 1
2. h•íng dÉn chÊm C SINH IỎI P 8 – 2013 Môn: Toán Bµi 1: (3 ®iÓm) a. (1,5 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 0,5 ®iÓm) = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b. (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 0,5 ®iÓm) = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 1 a. Rút gọn được kq: A x2 1,5 1 1 1 b. x x hoặc x Bµi 2 2 2 2 6 điểm 4 4 A hoặc A 3 5 1,5 c. A 0 x 2 1,5 1 d. A Z Z x 1;3 1,5 x2 Bài 3 (5 ®iÓm) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 a. (2,5) Do : (x 1)2 0;( y 3) 2 0;( z 1) 2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,5 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). a b c ayz+bxz+cxy Từ : 00 x y z xyz 1 ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c b. (2,5) x2 y 2 z 2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b 2 c 2 ab ac bc x2 y 2 z 2 cxy bxz ayz 2 2 2 21 a b c abc 0,5 x2 y 2 z 2 1(dfcm ) a2 b 2 c 2 2
3. Bài 4 Biến đổi để có A= a2 (a2 2) 2a(a2 2) (a2 2) 3 0,25đ = (a2 2)(a2 2a 1) 3 (a2 2)(a 1)2 3 0,25đ Vì a 2 2 0 a và (a 1)2 0a nên (a 2 2)(a 1)2 0a do đó 0,25đ (a 2 2)(a 1)2 3 3a Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 0 a 1 0,25đ KL Bài 5 (5 điểm A B O M N C D a, (1,5 OM OD ON OC 0,5đ Lập luận để có , điểm) AB BD AB AC OD OC 0,5đ Lập luận để có DB AC OM ON 0,5đ OM = ON AB AB OM DM OM AM 0,5đ Xét ABD để có (1), xét ADC để có (2) b, (1,5 AB AD DC AD điểm) 1 1 AM DM AD Từ (1) và (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 0,5đ Chứng minh tương tự ON. ( ) 1 AB CD 1 1 1 1 2 0,5đ từ đó có (OM + ON).( ) 2 AB CD AB CD MN c, (2 S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5đ , S AOB .SDOC SBOC .S AOD điểm) S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD SBOC 0,5đ 2 S AOB .SDOC (S AOD ) 0,5đ 2 2 2 Thay sè ®Ó cã 2012 .2013 = (SAOD) Do đó S = 20122 + 2.2012.2013 + 20132 = (2012 + 2013)2 = 0,5đ ABCD 40252 (đơn vị DT) 3