Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Sơn Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Sơn Dương (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1.(4 điểm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: xx( 2)( x2 2 x 2) 1 3 5 7 2n 1 b) Rút gọn biểu thức: A = (1.2) 2 (2.3) 2 (3.4) 2 n(n 1) 2 Câu 2.(4 điểm) 1 1 1 yz xz xy a) Cho 0. Tính A x y z x 2 y 2 z 2 b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: xyzxy2 2 2 – – 3 y – 2 z 4 0. Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. b) Cho a1, a 2 , , a 2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3. 3 3 3 Chứng minh rằng: A a1 a 2 a 2016 chia hết cho 3. Câu 4. (6 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng: AE  BC. b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Câu 5. (2 điểm) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: (a b c)2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức: P= a2 2bc b2 2ac c2 2ab Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:
2. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HUYỆN SƠN DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán Câu Phần Nội dung Điểm a xx( 2)( x2 2 x 2) 1 (x2 2 xx )( 2 2 x 2) 1 0.5 2đ 2 2 2 Câu 1 (xx 2 ) 2( xx 2 ) 1 0.5 (4 = (x2 2 x 1) 2 0.5 điểm) 0.5 4 (x 1) b 2n 1 (n 1) 2 n 2 1 1 1 Ta có : 2đ n(n 1) 2 n 2 (n 1) 2 n 2 (n 1) 2 1 n(n 2) => B = =1- (n 1) 2 (n 1) 2 1 Ta cã a b c 0 th× a a 3 b 3 c 3 a b 3 3ab a b c 3 c 3 3ab c c 3 3abc 0.5 2đ (v× a b c 0 nªn a b c) 0.5 1 1 1 1 1 1 3 Theo gi¶ thiÕt 0. 3 3 3 . Câu 2 x y z x y z xyz ( 4 yz xz xy xyz xyz xyz 0.5 A điểm ) xyz2 2 2 x 3 y 3 z 3 1 1 1 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 0.5 x y z xyz b x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0 2đ y 2 3 (x2 – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + ( y2 – 3y + 3) = 0 4 4 1 y 3 0,5 (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = 0 2 4 0.5 Có các giá trị x,y,z là: (1;2;1) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì a A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. 2đ 4 Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 0.5 Câu 3 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 (4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì 0.5 điểm) A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 2 2 0.5 V ì x, y, z Z nên x Z, 5xy Z, 5y Z x2 + 5xy + 5y2 Z 0.5
3. Vậy A là số chính phương. b Dễ thấy a3 a a( a 1)( a 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên 2đ chia hết cho 3 0.5 3 3 3 Xét hiệu A ( a1 a 2 a 2016 ) ( a 1 a 2 a 2016 ) ( a 1 a 2 a 2016 ) 0.5 (a3 a ) ( a 3 a ) ( a 3 a ) chia hết cho 3 1 1 2 2 2016 2016 Mà a1, a 2 , a 2013 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3. 0.5 Do vậy A chia hết cho 3. 0.5 D C I H O E F 0,5 A B K M Câu 4 a ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM 1 (6 2đ Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 0,5 điểm ) AHB = 900 0,5 Vậy AE  BC b Gọi O là giao điểm của AC và BD. 2đ ∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 0,5 1 1 HO AC DM 2 2 0,5 ∆DHM vuông tại H DHM = 900 0,5 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 0 Suy ra: DHM + MHF = 180 0,5 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng. c Gọi I là giao điểm của AC và DF. Ta có: DMF = 900 MF  DM mà IO  DM IO // MF Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 0,5 1,5đ Kẻ IK  AB (K AB) IK là đường trung bình của hình thang ABFD 0,5 AD BF AM BM AB IK (không đổi) 2 2 2 Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định. 0,5 Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB
4. Câu 5 (a+b+c)2= a2 b2 c2 ab ac bc 0 0,5 ( 2 a2 a2 a2 điểm ) a2 2bc a2 ab ac bc (a b)(a c) 0,5 b2 b 2 Tương tự: b2 2 ac ( b a )( b c ) 0,5 c2 c2 c2 2ac (c a)c b) 2 2 2 a b c P 2 2 2 a 2 bc b 2 ac c 2 ab a2 b 2 c 2 (abac )( ) ( abbc )( ) ( acbc )( ) (abacbc )( )( ) 1 (abacbc )( )( ) 0,5 Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.