Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Duy Xuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Duy Xuyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI DUY XUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 Môn : TOÁN - Lớp 8 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1(3,5đ) a) Chứng minh n 3 17 n chia hết cho 6 với mọi n Z b) Rút gọn biểu thức (x 2 a)(1 a) a 2 x 2 1 2 2 2 Bài 2(4,5đ) (x a)(1 a) a x 1 a) Một vật thể chuyển động từ A đến B theo cách sau: đi được 4 m thì dừng lại 1 giây, rồi đi tiếp 8m dừng lại 2 giây, rồi đi tiếp 12m dừng lại 3 giây, Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả dừng hết tất cả 155 giây. Biết rằng khi đi vật thể luôn có vận tốc 2 m/giây. Tính khoảng cách từ A đến B. a 2 b2 b) Biết a 3 3 ab 2 5 và b 3 3 a 2 b 10 Tính M = 2018 Bài 3(4đ) a) Giải phương trình (x2 x 1)(x2 x 2) 12 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 2 y 2 4 ( x y) 2010 Bài 4(4,5đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của BD, BC, DC. a) Chứng minh APQR là hình thang cân. b) Biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài của AR. Bài 5(2,5đ) Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng qua B cắt cạnh CD tại M, cắt đường 1 1 1 chéo AC tại N và cắt đường thẳng AD tại K. Chứng minh BN BM BK Bài 6(1đ) Biết a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 (a b c ) 4a b 0 Hết
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM DUY XUYÊN THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 Môn : TOÁN - Lớp 8 Bài 1: 3 3 (3,5đ) a) n 17 n = n n 18n n(n 1)(n 1) 18n 0,5 n ( n 1 )( n 1 ) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, (2,3) =1 nên chia hết cho 6 0,5 0,5 18 n chia hết cho 6 0 Suy ra Điều chứng minh (x 2 a)(1 a) a 2 x 2 1 x 2 x 2a a a 2 a 2 x 2 1 b) (x 2 a)(1 a) a 2 x 2 1 x 2 x 2a a a 2 a 2 x 2 1 0,5 x 2 x 2 a a 2 x 2 1 a a 2 x 2 (1 a a 2 ) (1 a a 2 ) 0,5 2 2 2 2 2 2 2 2 x x a a x 1 a a x (1 a a ) (1 a a ) (x 2 1)(1 a a 2 ) 1 a a 2 = (x 2 1)(1 a a 2 ) 1 a a 2 1.0 a) Gọi x là số lần đi ( x N , x 0 ) , số lần dừng là x-1 0,25 4 8 12 4x Bài 2: Thời gian đi 2 2 2 2 ( 4,5đ) 0,5 = 2+4+6+ +2x = 2(1+2+3+ +x) = x(x+1) (x 1 1)(x 1) x(x 1) Thời gian dừng 1+2+3+ .+(x-1) 0.5 x(x 1) 2 2 Lập được pt x(x 1) 155 0,25 2 Biến đổi được 3x 2 x 310 0 0.25 Giải tìm đúng x= 10 (chọn), x= -31/3 (loại) 0.5 Khoảng cách AB là 10(10+1).2 = 220 (m) 0.25 3 2 6 4 2 2 4 b) a 3 ab 5 a 6a b 9a b 25 0.5 b3 3a 2b 10 6 2 4 4 2 0.5 b 6a b 9a b 100 a 6 3a 4b2 3a 2b4 b6 125 0.5 a 2 b2 5 (a 2 b2 )3 53 0.5 2018 2018 Bài 3 a) (x 2 x 1)(x 2 x 2) 12 (4đ) 2 2 Đặt x x 1 X có X X 12 0 0,25 2 X 4X 3X 12 0 (X 4)(X 3) 0 0,25 X 4; X 3 0,5 1 19 X 4 x2 x 5 0 (x )2 0 0,5 2 4 Vô nghiệm X 3 x 2 x 2 0 (x 2 2x) (x 2) 0 0,5 (x 1)(x 2) 0 x 1; x 2
3. 0,5 2 2 b)P = x y 4(x y) 2010 x 2 4x 4 y 2 4y 4 2018 = 0,5 = (x 2)2 (y 2)2 2018 2018 0,5 Pmin = -2018 khi x=y =2 0,5 Bài 4 a) PQ là đường trung bình tam giác BDC, suy ra PQ// AR nên (4,5đ) APQR là hình thang. 0,5 AQ= ½ BC (trung tuyến tam giác vuông ABC) 0,5 PR = ½ BC ( đường trung bình tam giác DBC) 0,5 Suy ra AQ = PR 0,5 Kết luận APQR là hình thang cân 0,25 b)Tính được BC= 10 cm 0,5 Tính chất đường phân giáctrong của Tg ABC .DA BA DC BC 0,5 Suy ra .DA BA 0,5 AC BC BC Thay số tính đúng AD= 3cm; DC=5cm; DR=2,5 cm 0,5 Kết quả AR= 5,5 cm 0,25 Bài 5 AB//AC (hai cạnh đối hình bình hành). Theo định lí Talét có : (2,5đ) .MC NC MN MC AB MN NB BM (1) 0,5 AB AN NB AB BN BN .KM KD MD BK KM AB MD BM AB MD 0,5 (2) BK KA AB BK AB BK AB BM BM AB MC AB MD MC MD Từ (1) và (2) 0,75 BN BK AB AB AB Mà MC+MD= CD=AB nên 0,25 . BM BM 1 BN BK Suy ra điều cần chứng minh 0.5 Bài 6(1đ) (a2 b2 c2 )2 4a2b2 (a2 b2 c2 2ab)(a2 b2 c2 2ab) 0,25 2 2 2 2 (a b) c (a b) c  0,25 (a b c)(a b c)(a c b)(b c a) 0,25 Tổng 2 cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba nên cả 4 thừa số của tích đều dương, suy ra điều chứng minh 0,25 Học sinh giải cách khác , phân biểu điểm tương tự./.