Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN GIA LÂM ĐỀ THI HSG TOÁN 8 NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (5,0 điểm) x21 10 − x2  =++−+ Cho biểu thức: A2 :x2  x−42−xx+2x+2 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A biết x +3=1 3. Tìm giá trị của x để A < 0 4. Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: x+1x+2x+3x+4 1. +=+ 6543 1113 2. ++= x2+xx2+3x+2x2+5x+64 Bài 3: (5,0 điểm) 1. Cho biểu thức A=5x2+y2−2xy+14 x− 2y +5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2020 2020 2. Chứng minh rằng đa thức Ax( ) =( x2+x−1) +( x2−x+1) −2 chia hết cho đa thức Bx( ) = x−1 3. Chứng minh rằng a3 b− ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b . 4. Cho hai số xy, thỏa mãn xy+=2 . Chứng minh rằng: x2+y2≤x4+y4 Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB= a , hai đường chéo cắt nhau tại O . Trên hai cạnh AB, BC lần lượt lấy hai điểm E và G sao cho AE = BG. Gọi H là giao điểm của tia AG và tia DC , I là giao điểm của tia OG và đoạn thẳng BH . 1. Chứng minh rằng: ∆OGE vuông cân. 2. Tính diện tích tứ giác OEBG theo a 3. Chứng minh rằng: EG// BI 4. Gọi K là giao điểm của tia EO và tia IC . Chứng minh rằng: KG⊥ EI = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = 1
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG 8 GIA LÂM Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) x21 10 − x2  =++−+ Cho biểu thức: A2 :x2  x−42−xx+2x+2 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A biết x +3=1 3. Tìm giá trị của x để A ⇒x>2 x − 2 Vậy A 2 −1 4) Để A nhận giá trị nguyên thì ∈ nên x−2∈U(1) ={−1;1} ⇒x ∈{1; 3} (thỏa mãn điều x − 2 kiện) Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: x+1x+2x+3x+4 1. +=+ 6543 1113 2. ++= x2+xx2+3x+2x2+5x+64 Lời giải 2
3. x+1x+2x+3x+4x+1x+2x+3x+4 1) +=+⇔+1++1=+1++1 6543 6543 x+7x+7x+7x+7x+7x+7x+7x+7 1111 ⇔+=+⇔+−−=0 ⇔( x +7)+−−=0 6543 6543 6543 ⇔x +70=⇔x =−7 Vậy x =−7 1113 2) ++= ĐK: x≠0;x≠−1;x≠−2;x≠−3 x2+xx2+3x+2x2+5x+64 11131111113 ⇔++=⇔−+−+−= xx( +1) ( x+1)( x+2) ( x+2)( x+3) 4 xx+1x+1x+2x+2x+34 113x+3−x3xx( + 3) ⇔−= ⇔= ⇒3.4= 3xx( + 3) ⇔x2 +3x−40= xx+ 34 xx( +3) 4 xx( +3) ⇔( x−1)( x+4) =0 x+40=x=−4 ⇔⇔( thỏa mãn điều kiện) x−10=x=1 Vậy x=1; x=−4 Bài 3: (5,0 điểm) 1. Cho biểu thức A=5x2+y2−2xy+14 x− 2y +5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2020 2020 2. Chứng minh rằng đa thức Ax( ) =( x2+x−1) +( x2−x+1) −2 chia hết cho đa thức Bx( ) =x −1 3. Chứng minh rằng a3 b− ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b . 4. Cho hai số xy, thỏa mãn xy+=2 . Chứng minh rằng: x2+y2≤x4+y4 Lời giải 1) A=5x2+y2−2xy+14 x−2 y +5 A=( x2+y2+12−xy+ 2 x−2y) +(4x2+12x + 9) −5 22 A=( xy−+1) +(2 x+3) −5≥−5  −1 y = xy−+10=  2 Dấu “=” xảy ra khi  ⇔  2x +30= −3  x =  2  −1 y =  2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi  −3 x =  2 3
4. 2020 2020 2) Chứng minh rằng đa thức Ax( ) =( x2+x−1) +( x2−x+1) −2 chia hết cho đa thức Bx( ) = x−1 Ta thấy đa thức Bx( ) = x−1 có nghiệm là x =1 2020 2019 Mà A(1) =(12+11−) +(1 2−11+) −2 = 0 nên đa thức Ax( ) phải có 1 nhân tử là x −1. Vậy nên đa thức Ax( ) chia hết cho đa thức Bx( ) 3) Chứng minh rằng a3 b− ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b . Xét A=a3 b− ab3= ab( a2−1) − ab( b2−1) A=ab( a−1)( a+1) −ab( b−1)(b +1) Do a−1;aa ;+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab( a−1)(a +1) chia hết cho 6 Tương tự : b−1;bb ;+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab( b−1)( b +1) chia hết cho 6 Do vậy: A=ab( a−1)( a+1) −ab( b−1)(b +1) chia hết cho 6 Do đó: A=a3 b− ab3 chia hết cho 6 x2+y2≤x3+y3 (1) 4) Ta cần chứng minh: x3+y3≤x4+y4 (2) Thật vậy: x2+y2≤x3+y3⇔( xyx+)( 2+y 2) ≤2( x3+y3) vì xy+=2 ⇔x3+xy2+ xyy2+3≤2 x3+2y3⇔0 ≤x3−xy2− x2 y+ y3⇔0 ≤xxy2( −) −yxy 2( −) 2 2 ⇔0 ≤( x2−y2)( xy−) ⇔0 ≤( xyxy+)( −) luôn đúng vì xy+=2> 0;( xy −) ≥0 Từ (2) ⇔x3+y3≤x4+y4 ⇔( xyx+)( 3+y 3) ≤2( x4+y4) vì xy+=2 ⇔x4+xy3+ xyy3+4≤2 x4+2y4⇔0 ≤x4−xy3− x3 y+ y4⇔0 ≤xxy3( −) −yxy 3( −) 2 ⇔0 ≤( x3−y3)( xy−) ⇔0 ≤( x2+xy+ y2)( x− y) luôn đúng 2 22132 2 vì x+xy+ y= x+y+y≥0∀x,; y( x− y) ≥0 24 Từ (1) và (2) suy ra x2+y2≤x4+y4 với xy+=2 Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB= a , hai đường chéo cắt nhau tại O . Trên hai cạnh AB, BC lần lượt lấy hai điểm E và G sao cho . Gọi H là giao điểm của tia AG và tia DC , I là giao điểm của tia OG và đoạn thẳng BH . 1. Chứng minh rằng: ∆OGE vuông cân. 2. Tính diện tích tứ giác OEBG theo a 3. Chứng minh rằng: EG// BI 4
5. 4. Gọi K là giao điểm của tia EO và tia IC . Chứng minh rằng: KG⊥ EI Lời giải A E B 1 O G 1 2 I 1 D C H K Xét ∆OAE và ∆OBG có: AE= BG   OE= OG (1) OAE = OBG =450  ⇒∆ OAE=∆ OBG (cgc) ⇒   AOE= OBG =   OAOB  Mà AOE+EOB =900 ⇒BOG + EOB =900 ⇒EOG =900 (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆OEG vuông cân tại O 2) Ta có: sOEBG=s∆ OGB+ s∆ OEB ⇒sOEBG=s∆ OEA+s∆ OEB=s∆ ABC 11 1 Mà S=S= a2 . Nên S= a2 (đvdt) ∆ABO4 ABCD 4 OEBG 4 AG BG 3) Vì AB// CH nên = GHGC Mà BG=AE ; GC= EB ( Vì GC= BC− BG; EB= AB− AE ) AG AE Nên = ⇒ EG// BH hay EG// BI GHBE  0 4) Vì EG//BI nên I1 =OGE = 45 ( Vì ∆OGE vuông cân tại O)   0 Xét ∆OGC và ∆BGI có: I1=C1=45 ;OGC= BGI (đối đỉnh) OGGC ⇒∆OGC ∽ ∆BGI (g-g) ⇒= BG GI Lại có: OGB = CGI (đối đỉnh) nên ∆OGB∽ ∆ CGI (c-g-c)   0   0 ⇒I2=B1=45 ⇒BIK= I1+I2=90 ⇒KI⊥ BI . Mà EG// BI⇒ EG⊥ CI IG⊥ EK  Ta có:  ⇒ G là trọng tâm ∆EIK ⇒KG⊥ EI EG⊥ KI  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = 5